山东省青岛市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，集合 $B = {x | | 2 x - 1 | < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 $\emptyset$

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2. 命题“ $\forall x \in R, \sin x \leq 1$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R, \sin x > 1$ B、 $\forall x \in R, \sin x > 1$ C、 $\exists x \in R, \sin x \geq 1$ D、 $\exists x \in R, \sin x \leq 1$

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3. 若角 $θ$ 的终边经过点 $P (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 函数 $f (x) = \sin^{4} x + 2 \sin x \cos x - \cos^{4} x$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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5. 已知 $a = \sin 160 °$ ， $b = \cos 50 °$ ， $c = \tan 110 °$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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6. 已知函数 $f (x) = 1 - \lg \frac{1 - x}{1 + x}$ ，若 $f (a) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (- a) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在 $α$ 型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I (t)$ 随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与 $R_{0}$ ，T近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ .有学者基于已有数据估计出 $R_{0} = 3.22, T = 10$ .据此，在 $α$ 型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至 $I (0)$ 的3倍需要的时间约为（）(参考数据： $\ln 3 \approx 1.10$ )

A、2天 B、3天 C、4天 D、5天

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln (1 + x) | ， x 〉 - 1 \\ {(x + 2)}^{2} ， x \leq - 1 \end{array}$ ，若方程 $f (x) - m = 0$ 有4个不相同的解，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $[0 ， 1]$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、 $\sqrt{x (10 - x)} \leq 5$ D、 $\lg x < 0$ 是 $x < 1$ 的充分不必要条件

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10. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ B、 $f (x) = \tan x$ C、 $f (x) = 3^{x} - 3^{- x}$ D、 $f (x) = x \cdot \cos x$

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列正确的是（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $f (2021 π) = 1$ C、函数 $y = | f (x) |$ 为偶函数 D、 $\forall x \in R ， f (\frac{π}{6} + x) + f (\frac{π}{6} - x) = 0$

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 同时满足下列三个条件：① $f (x)$ 是奇函数；② $\forall x \in R, f (x + \frac{π}{2}) = - f (x)$ ；③当 $x \in (0, \frac{π}{4}]$ ，时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ；
则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期 $T = π$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{2}$ 对称 D、当 $x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ 时， $f (x) = 0$

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三、填空题

13. 已知弧长为 $π$ 的弧所对的圆心角为 $60 °$ ，则这条弧所在圆的半径为.

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14. 已知 $α$ 为第二象限角， $\cos (α - \frac{π}{2}) - 2 \sin (π + α) = \frac{3}{4}$ ，则 $\cos α =$ .

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15. 计算： $\lg \sqrt{5} + 2^{\log_{2} 3} + \log_{2} \frac{1}{16} + \frac{\lg 2}{2} + \ln 1 =$ .

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16. 某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表：

阶梯	年用量(千克)	价格(元/千克)
第一阶梯	不超过10的部分	6
第二阶梯	超过10而不超过20的部分	8
第三阶梯	超过20的部分	10

则一户居民使用该物资的年花费y(元)关于年用量x(千克)的函数关系式为；若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，则该户居民的年用量为千克.

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四、解答题

17. 从“① $\forall x \in R, f (2 + x) = f (2 - x)$ ；②方程 $f (x) = 0$ 有两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 4$ ；③ $\forall x \in R, f (x) \leq f (2)$ ”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
已知函数 $f (x)$ 为二次函数， $f (- 1) = - 8$ ， $f (0) = - 3$ ，___________.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x) - k x \leq 0$ 对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

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18. 2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018年已经上涨到每亩120万元.现给出两种地价增长方式，其中 $P_{1} : f (t) = a t + b (a, b \in R)$ 是按直线上升的地价， $P_{2} : g (t) = c \log_{2} (d + t) (c, d \in R)$ 是按对数增长的地价，t是2006年以来经过的年数，2006年对应的t值为0.

(1)、求 $f (t)$ ， $g (t)$ 的解析式；

(2)、2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在的10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型.(参考数据： $\log_{2} 10 \approx 3.32$ )

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19. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，函数 $y = f (x - \frac{π}{12})$ 为奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍(纵坐标不变)，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，证明：当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时， $2 g^{2} (x) - g (x) - 1 \leq 0$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \ln (2 - 2^{x}) + \ln (2 - 2^{- x})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、若 $f (x) \leq m$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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21. 如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 $π$ 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 $d = A \sin (ω t + φ) + K (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $A ， ω ， φ ， K$ 的值；

(2)、求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？

(3)、某时刻 $t_{0}$ (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 $\frac{π}{6}$ 分钟后，盛水筒W是否在水中？

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22. 若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象均连续不断， $f (x)$ 和 $g (x)$ 均在任意的区间上不恒为0， $f (x)$ 的定义域为 $I_{1}$ ， $g (x)$ 的定义域为 $I_{2}$ ，存在非空区间 $A \subseteq (I_{1} \cap I_{2})$ ，满足： $\forall x \in A$ ，均有 $f (x) g (x) \leq 0$ ，则称区间A为 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“ $Ω$ 区间”

(1)、写出 $f (x) = \sin x$ 和 $g (x) = \cos x$ 在 $[0, π]$ 上的一个“ $Ω$ 区间”(无需证明)；

(2)、若 $f (x) = x^{3}$ ， $[- 1, 1]$ 是 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“ $Ω$ 区间”，证明： $g (x)$ 不是偶函数；

(3)、若 $f (x) = \frac{π \ln x}{e^{x - \frac{1}{e}}} + x + \sin 2 x$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 上单调递增， $(0, + \infty)$ 是 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“ $Ω$ 区间”，证明： $g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上存在零点.

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