山东省德州一中2019-2020学年高二下学期数学4月月考试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数 $z = (- 2 + i) i - i^{2019}$ ， $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，其部分图象如图所示，设 $\frac{f (4) - f (2)}{4 - 2} = a$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a < f^{'} (2) < f^{'} (4)$ B、 $f^{'} (2) < a < f^{'} (4)$ C、 $f^{'} (4) < f^{'} (2) < a$ D、 $f^{'} (2) < f^{'} (4) < a$

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3. 停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）

A、 $A_{9}^{5}$ 种 B、 $2 A_{5}^{5} A_{4}^{4}$ 种 C、 $5 A_{5}^{5}$ 种 D、 $6 A_{5}^{5}$ 种

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4. 函数 $f (x) = 2 x^{2} - ln | x |$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. ${(1 + y)}^{n}$ 的展开式中，所有的二项式系数之和等于512，则第3项是（）

A、 $C_{9}^{3} y^{3}$ B、 $C_{9}^{2} y^{2}$ C、 $C_{8}^{3} y^{3}$ D、 $C_{8}^{2} y^{2}$

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6. 函数 $f (x) = x \ln x$ 的单调减区间是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ D、 $(0 ， \frac{1}{e})$

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7. 某部门共有4名员工，某次活动期间，周六、周日的上午、下午各需要安排一名员工值班，若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工，则该活动值班岗位的不同安排方式共有（）

A、120种 B、132种 C、144种 D、156种

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8. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - 1 (\frac{1}{e} < x < e^{2})$ ， $g (x) = m x$ ，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象上存在关于直线 $y = 0$ 对称的点，则实数m的取值范围是 $($ $)$

A、 $[- \frac{2}{e} ， 2 e)$ B、 $(- e^{- 2} ， 3 e]$ C、 $[- 2 e^{- \frac{3}{2}} ， 3 e)$ D、 $(- 3 e^{- 2} ， 3 e]$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = \frac{i}{1 - 2 i}$ ，则以下说法正确的是（）

A、复数z的虚部为 $\frac{i}{5}$ B、z的共轭复数 $\bar{z} = \frac{2}{5} - \frac{i}{5}$ C、 $| z | = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、在复平面内与z对应的点在第二象限

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot x^{3}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、 $f (\log_{5} 2) < f (e^{- \frac{1}{2}}) < f (\ln π)$ C、方程 $f (x) = - 1$ 有实数解 D、存在实数 $k$ ，使得方程 $f (x) = k x$ 有 $4$ 个实数解

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11. 对于二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x})}^{n} {(\frac{1}{x} + x^{3})}^{n} (n \in N^{*})$ ，以下判断正确的有（）

A、存在 $n \in N^{*}$ ，展开式中有常数项 B、对任意 $n \in N^{*}$ ，展开式中没有常数项 C、对任意 $n \in N^{*}$ ，展开式中没有 $x$ 的一次项 D、存在 $n \in N^{*}$ ，展开式中有 $x$ 的一次项

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ， $f (0) = 4$ ，则关于不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} + 3$ 的表述正确的为（）

A、解集为 $(0 ， + \infty)$ B、解集为 $(- \infty ， 0) \cup (3 ， + \infty)$ C、在 $[- 2 ， 2]$ 上有解 D、在 $[- 2 ， 2]$ 上恒成立

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三、填空题

13. 将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有1枚硬币，则放置硬币的方法共有种.

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14. ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - x)}^{6}$ 展开式中除常数项外的其余项的系数之和为．

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15. 现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有.（用数字作答）

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} a x^{4} - x^{3} + x + 2019$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若 $f^{'} (x)$ 存在有唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} - 9 m + 18) i$ 在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，

(1)、z为实数？z为纯虚数？

(2)、A位于第三象限？

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ， $(a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间与最值；

(2)、若 $f (x)$ 在定义域 $R$ 内单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中常数项；

(3)、计算式子 $C_{6}^{0} 2^{6} + C_{6}^{1} 2^{5} + C_{6}^{2} 2^{4} + C_{6}^{3} 2^{3} + C_{6}^{4} 2^{2} + C_{6}^{5} 2^{1} + C_{6}^{6} 2^{0}$ 的值.

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20. 晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：

(1)、3个舞蹈节目排在一起；

(2)、3个舞蹈节目彼此分开；

(3)、3个舞蹈节目先后顺序一定；

(4)、前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．

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21. 某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+ $\frac{2}{75}$ x³（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：p²= $\frac{k}{x}$ ，生产100件这样的产品单价为50万元．

(1)、设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；

(2)、产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $4 x - 2 y - 3 = 0$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，证明函数 $g (x) = f (x) - (a + 1) x$ 恰有一个零点.

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