山东省济宁市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ， $B = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${0, 1}$

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2. 已知命题 $p$ ： $\exists x > 1$ ， $x^{2} - 4 < 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - 4 \geq 0$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - 4 < 0$ C、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - 4 \geq 0$ D、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 4 \geq 0$

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3. “ $φ = \frac{π}{2}$ ”是“函数 $y = \sin (x + φ)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若 $a = e^{0.5}$ ， $b = \sin \frac{22 π}{5}$ ， $c = \log_{2} 0.2$ ，则 $a$ ､ $b$ ､ $c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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5. 函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $y = \cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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6. 函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 分别是 $△ A B C$ 的三个内角，且 $\cos \frac{A}{2} = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (B + C) =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $- \frac{16}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{16}{25}$

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8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，则三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a = 3$ ， $b + c = 5$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{11}$

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二、多选题

9. 如果 $a > b > 0$ ，那么下列不等式成立的是（）

A、 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ B、 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $a - c > b - c$

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10. 若方程 $x^{2} + 2 x + λ = 0$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上有实数根，则实数 $λ$ 的取值可以是（）

A、-3 B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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11. 已知 $θ \in (0, π)$ ， $\sin θ + \cos θ = - \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{2}, π)$ B、 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ C、 $\tan θ = - \frac{3}{4}$ D、 $\sin θ - \cos θ = \frac{7}{5}$

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12. 已知实数 $x_{1} ， x_{2}$ 为函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - | \log_{2} (x - 1)$ |的两个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) \in (- \infty ， 0)$ B、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \in (0 ， 1)$ C、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 1$ D、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \in (1 ， + \infty)$

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三、填空题

13. $3^{\log_{3} 2} + 9^{\frac{1}{2}} + \lg \frac{5}{2} + 2 \lg 2 =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = a^{x - 1} + x^{a} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为.

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15. 函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为.

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16. 若实数x，y满足x＞y＞0，且log₂x＋log₂y＝1，则 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在① $A \cup B = B$ ；②“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件；③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq a + 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 ▲ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 如图，角 $θ$ 的顶点与平面直角坐标系 $x O y$ 的原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 $P$ ，若点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{4}{5} ， y_{0})$ .

(1)、求 $\tan θ - \sin 2 θ$ 的值；

(2)、若将 $O P$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $40 °$ ，得到角 $α$ ，设 $\tan α = m$ ，求 $\tan (θ + 85 °)$ 的值.

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19. 目前，"新冠肺炎"在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量 $y$ （毫克）与药熏时间 $t$ （小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量 $y$ （毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量 $y$ （毫克）与时间 $t$ （小时）的函数关系式为 $y = {(\frac{1}{32})}^{t - a}$ （ $a$ 为常数）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量 $y$ （毫克）关于时间 $t$ （小时）的变化曲线如图所示.

(1)、从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量 $y$ （毫克）与时间 $t$ （小时）之间的函数关系式；

(2)、据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos (x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间.

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21. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3$ .

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1, 1)$ ，求实数 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (1) = 0$ ，且存在 $x \in R$ ，使 $f (x) > 4$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ， $g (x) = \sin 2 x - f (x)$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 图象的对称轴的方程；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域；

(3)、设 $h (x) = \frac{9^{x} - 1}{9^{x} + 1}$ ，存在集合 $M$ ，当且仅当实数 $m \in M$ ，且在 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，不等式 $m h (\frac{x}{2}) - h (x) > 0$ 恒成立．若在（2）的条件下，恒有 $a g (x) \notin M$ （其中 $a > 0$ ），求实数 $a$ 的取值范围.

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