安徽省合肥市庐江六校2019-2020学年高二下学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ B、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ C、 ${(\frac{1}{x^{2}})}^{'} = - \frac{1}{x}$ D、 ${(- \frac{1}{\sqrt{x}})}^{'} = \frac{1}{2 x \sqrt{x}}$

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2. $\frac{3 - 2 i}{2 + 9 i} =$ （）

A、 $\frac{12}{85} - \frac{31}{85} i$ B、 $- \frac{12}{85} + \frac{31}{85} i$ C、 $\frac{12}{85} + \frac{31}{85} i$ D、 $- \frac{12}{85} - \frac{31}{85} i$

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3. 设复数 $z$ 满足 $(z + 2 i) \cdot i = 3 - 4 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于 $($ $)$

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 曲线 $y = \frac{x}{x + 2}$ 在点 $(- 1 ， - 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = - 2 x - 3$ D、 $y = - 2 x - 2$

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5. 若函数 $f (x)$ 满足， $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f^{'} (1) \cdot x^{2} - x$ ，则 $f^{'} (1)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、0 D、-1

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6. 已知 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + x$ ( $a$ 、 $b \in R$ 且 $a b \neq 0$ )的图象如图所示，若 $| x_{1} | > | x_{2} |$ ，则有（）

A、 $a > 0 ， b > 0$ B、 $a < 0 ， b < 0$ C、 $a < 0 ， b > 0$ D、 $a > 0 ， b < 0$

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7. 用数学归纳法证明 $(n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = 2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2 n - 1)$ $(n \in N^{*})$ ，从“ $n = k$ 到 $n = k + 1$ ”，左端需增乘的代数式为（）.

A、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$ B、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ C、 $2 k + 1$ D、 $2 (2 k + 1)$

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8. 我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（）

A、4 B、2 C、3 D、1

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9. 将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即 $a_{2014} - 5 =$ （）

A、 $2018 \times 2012$ B、 $2020 \times 2013$ C、 $1009 \times 2012$ D、 $1010 \times 2013$

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10. ${(C}_{100}^{2} {+C}_{100}^{97}) \div A_{101}^{3}$ 的值为（）

A、6 B、101 C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{101}$

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11. 若 ${(2 x + \sqrt{3})}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4})}^{2} - {(a_{1} + a_{3})}^{2}$ 的值为（）

A、1 B、－1 C、0 D、2

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12. 设函数 $f' (x)$ 是奇函数 $f (x)$ （ $x \in R$ ）的导函数， $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f' (x) - f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $x, y \in R$ ，且 $x + y > 2$ ，则 $x$ ， $y$ 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为．

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14. 如图所示的五个区域中，中心区 $E$ 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为．

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15. 设复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $| z | =$ .

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16. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 $\frac{a^{2}}{4}$ ．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x + 8$ ，其中 $a \in R$ ，已知 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处取得极值．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在点 $A (1 ， 16)$ 处的切线方程．

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18. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + a {(x - 1)}^{2}$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性．

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19.

(1)、 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五人站一排， $B$ 必须站 $A$ 右边，则不同的排法有多少种；

(2)、晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2个节目插入原节目单中，则不同的插法有多少种.

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20. 已知( $x^{\frac{2}{3}}$ ＋3x²)ⁿ的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：

(1)、展开式中二项式系数最大的项；

(2)、展开式中系数最大的项．

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21.

(1)、若复数 $z = 1 - i - \frac{a - i}{1 + i}$ 是实数（其中 $a \in R, i$ 是虚数单位）,则求 $a$ 的值.

(2)、求曲线 $y = \sqrt{x}$ ，直线 $y = x - 2$ 及y轴所围成的封闭图形的面积.

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22. 各项都为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} \leq \sqrt{2 n - 1}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立．

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