山东省滨州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， 2 x^{2} + 1 >0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R ， 2 x^{2} + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R ， 2 x^{2} + 1 <0$ C、 $\exists x \in R ， 2 x^{2} + 1 <0$ D、 $\exists x \in R ， 2 x^{2} + 1 \leq 0$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - \log_{2} (x + 2)}$ 的定义域为（）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $(- 2 ， 0]$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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3. 已知 $a = e^{0.2} ， b = \log_{3} \sqrt{5} ， c = \sin 4$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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4. 已知幂函数 $y_{1} = x^{a} ， y_{2} = x^{b} ， y_{3} = x^{c} ， y_{4} = x^{d}$ 在第一象限的图象如图所示，则（）

A、 $a > b > c > d$ B、 $b > c > d > a$ C、 $d > b > c > a$ D、 $c > b > d > a$

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5. 在东方设计中，存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为 $\sqrt{2} ： 1$ ，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）.设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为 $S_{1}$ ，折扇纸面面积为 $S_{2}$ ，当时 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \sqrt{2}$ ，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，原扇形半径与剪下小扇形半径之比为（）

A、 $\sqrt{\sqrt{2} + 1}$ B、 $4 - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{4 - \sqrt{2}}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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6. 函数 $y = \frac{\cos 3 x}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数f（x）＝3^x+x，g（x）＝log₃x+x，h（x）＝x³+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）

A、a＞b＞c B、b＞c＞a C、c＞a＞b D、b＞a＞c

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 x - x^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ $(- 1 ， 0)$ 在上为增函数 B、 $f (x)$ 的最大值为 $2$ C、方程 $f (x) - \ln | x | = 0$ 有四个不相等的实数根 D、当 $x <0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系中，若角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (\frac{4}{5} ， n) (n >0)$ ，将角 $α$ 的终边按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后得到角 $β$ 的终边，记角 $β$ 的终边与单位圆的交点为 $Q$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $\tan α = \frac{3}{4}$ B、 $\sin β = \frac{4}{5}$ C、 $\cos β = \frac{3}{5}$ D、 $Q (- \frac{3}{4} ， \frac{4}{5})$

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10. 已知 $a > b >c$ ，且 $a c < 0$ ，则下列不等式恒成立的有（）

A、 $\frac{b - a}{c} <0$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{c}{a}$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{c}$ D、 $\frac{b^{2}}{c} > \frac{a^{2}}{c}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、与角 $\frac{19 π}{6}$ 终边相同的角 $α$ 的集合可以表示为 ${α | α = 2 k π + \frac{π}{6} ， k \in Z}$ B、若 $α$ 为第一象限角，则 $\frac{α}{2}$ 为第一或第三象限角 C、函数 $f (x) = \sin (x + ϕ + \frac{π}{4})$ 是偶函数，则 $ϕ$ 的一个可能值为 $\frac{3 π}{4}$ D、“ $x = \frac{π}{3}$ ”是函数 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的一条对称轴

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{\frac{1}{2}} x | ， 0 < x \leq 4 ， \\ \frac{10}{x} ， x > 4 ， \end{array}$ 若方程 $f (x) = a$ 有三个实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $x_{1} x_{2} = 1$ B、 $a$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{5}{2})$ C、 $\frac{x_{3}}{x_{1} x_{2}}$ 的取值范围为 $[5 ， + \infty)$ D、不等式 $f (x) >2$ 的解集为 $(0 ， \frac{1}{4}) \cup (4 ， 5)$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} (2 x - 3) + 1 (a >0$ 且 $a \neq 1)$ ，且的图象恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为.

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14. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， a^{2}}$ ， $B = {1 ， a + 2}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a =$ .

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15. 函数 $f (x) = 3 \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin x \cos x$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值为.

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16. 已知定义在 $R$ 上的周期函数 $y = f (x)$ （在长度不小于它的一个最小正周期的闭区间上）的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的最小正周期为，函数的解析式.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 7 x + 10 <0} ， B = {x |(x - a) (x - a - 2) <0}$ ；

(1)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围 $M$ ；

(2)、若 $m = \log_{2} 5 - \log_{2} 40 ， n = \lg 40 + 2 \lg 5$ ，求 $m ， n$ 的值，并从下列所给的三个条件中任选一个，说明它是（1）中 $a \in M$ 的什么条件.（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答）① $a \in [m ， \frac{5}{6} n)$ ；② $a \in [m ， \frac{5}{3} n]$ ；③ $a \in [\frac{5}{6} n ， - m]$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x} ， x \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[a ， 2 a]$ 上的最大值与最小值之和为 $6$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{1}{x}) = 3$ ，求 $3^{x} + 3^{- x}$ 的值.

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19. 已知 $\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{7 \sqrt{2}}{10} ， x \in (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ .

(1)、求 $\sin x$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x + a}{x^{2} + 1}$ 为奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性，并证明．

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A >0 ， ω >0 ， | φ |< \frac{π}{2} ）$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $2$ 倍，纵坐标不变；再把所得函数图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上的单调递增区间.

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22. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格 $P (x)$ (单位：元)与时间 $x$ （单位：天）（ $1 \leq x \leq 30 ， x \in N^{*}$ ）的函数关系满足 $P (x) = 10 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数，且 $k >0$ ），日销售量 $Q (x)$ （单位：件）与时间 $x$ 的部分数据如下表所示：

$x$

15

20

25

30

$Q (x)$

55

60

55

50

设该工艺品的日销售收入为 $f (x)$ （单位：元），且第20天的日销售收入为603元.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下四种函数模型：
① $Q (x) = a x + b$ ；

② $Q (x) = a | x - m | + b$ ；

③ $Q (x) = a b^{x}$ ；

④ $Q (x) = a \log_{b} x$ .

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的变化关系，并求出该函数的解析式；

(3)、利用问题（2）中的函数 $Q (x)$ ，求 $f (x)$ 的最小值.

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$x$	15	20	25	30
$Q (x)$	55	60	55	50