江西省抚州市2020－2021学年度高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁_UB=（）

A、{2，5} B、{3，6} C、{2，5，6} D、{2，3，5，6，8}

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2. 函数f(x)＝ $\frac{1}{1 - x}$ ＋lg(1＋x)的定义域是（）

A、(－∞，－1) B、(1，＋∞) C、(－1，1)∪(1，＋∞) D、(－∞，＋∞)

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3. $\sqrt{\sin^{2} 1200^{\circ}}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 5, x \geq 6 \\ f (x + 4), x < 6 \end{array}$ ，则 $f (- 1)$ 的值为（）

A、-6 B、-2 C、2 D、3

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5. 设 $a = \lg \frac{1}{3}$ ， $b = π^{0.3}$ ， $c = {(\frac{1}{π})}^{2}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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6. 已知角 $α$ 为第四象限角， $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (\frac{3}{5}, m)$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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7. 已知 $f (x) = a x^{3} + b x \cos x + c, f (0) = 1, f (2021) = 100$ ，则 $f (- 2021) =$ （）

A、99 B、-98 C、-99 D、-100

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8. 若向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (0, 1)$ ，且 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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9. 为了得到函数 $y = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像，可以将函数 $y = \sin 2 x$ 的图像（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ B、向右平移 $\frac{π}{6}$ C、向左平移 $\frac{π}{3}$ D、向左平移 $\frac{π}{6}$

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10. 用二分法求函数 $f (x) = \log_{2} x + a - 2 x$ 零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ ，那么 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(\frac{5}{2}, + \infty)$ C、 $(2, \frac{5}{2})$ D、 $(- \infty, 2) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$

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11. 已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = \log_{a} (a x^{2} - 2 x + 1)$ 在 $[\frac{1}{3} ， 3]$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{3}] \cup (1 ， 3]$ D、 $(0 ， \frac{1}{3}] \cup [3 ， + \infty)$

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12. 黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间 $[0, 1]$ 上，其基本定义是： $R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{p}, 当 x = \frac{q}{p} (p, q 都是正整数, \frac{q}{p} 只是不可以再约分的真分数) \\ 0, 当 x = 0, 1 或者 [0, 1] 上的无理数 \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (\frac{10}{3}) + f (\frac{3}{10}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{30}$ B、 $- \frac{2}{7}$ C、 $\frac{13}{30}$ D、 $- \frac{13}{30}$

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二、填空题

13. 已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 已知 $\tan (α - \frac{β}{2}) = \frac{1}{2}$ ， $\tan (β - \frac{α}{2}) = - \frac{1}{3}$ ，则 $\tan \frac{α + β}{2} =$ .

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15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出了计算弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积所用的经验公式：弧田面积 $= \frac{1}{2} ($ 弦 $\times$ 矢 $+$ 矢 $^{2})$ ，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．已知一块弦长为 $6m$ 的弧田按经验公式计算所得面积为 $(3 \sqrt{3} + \frac{3}{2}) m^{2}$ ，则该弧田的实际面积为 $m^{2}$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x ， x \in (0 ， + \infty) \\ 2 x + 5 ， x \in (- \infty ， 0] \end{array}$ ，若实数 $a ， b ， c ， d$ 互不相等且 $| f (a) | = | f (b) | = | f (c) | = | f (d) |$ ，则 $a b c d$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 化简求值：

(1)、已知 $\tan α = 2$ ，求 $\frac{\sin (- α) + 4 \cos (3 π - a)}{5 \sin (\frac{3 π}{2} - α) - 2 \cos (\frac{π}{2} + α)}$ ；

(2)、计算： $\lg 20 - \lg 2 - {(- 9.6)}^{0} - {(\frac{16}{81})}^{- 0.25} + \frac{\log_{9} 8}{\log_{3} 2} + e^{\ln 3}$ ．

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18. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 3 x - 10 \leq 0}$ ， $N = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $(∁_{R} M) \cap (∁_{R} N)$ ；

(2)、若 $M \cup N = M$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调递增区间．

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20. 已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x ， \sin x) ， \vec{b} = (\sqrt{3} \cos x ， 2 \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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21. 已知幂函数 $f (x) = (k^{2} + k - 1) x^{(2 - k) (1 + k)}$ ，且 $f (2) < f (3)$ ．

(1)、求实数 $k$ 的值，并写出相应的函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、对于（1）中的函数 $f (x)$ ，试判断是否存在正数 $m$ ，使函数 $g (x) = 1 - f (x) + 2 m x$ ，在区间 $[0, 1]$ 上的最大值为 $5$ ，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x) = 4^{x} + a \cdot 4^{- x}$ 和奇函数 $g (x) = 4^{x} + b \cdot 4^{- x}$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x \in (- \frac{1}{2}, 0)$ 时，不等式 $f (2 x) - k \cdot g (x) + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若方程 $f (x) = m \cdot 4^{x} - m$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上恰有一个实根，求实数 $m$ 的取值范围．

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