江苏省南通市启东市、通州区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $\sin θ > 0$ ， $\tan θ < 0$ ，则 $θ$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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2. 命题“ $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，总有 $x^{2} + 1 \geq 2 x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，总有 $x^{2} + 1 < 2 x$ B、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ，总有 $x^{2} + 1 < 2 x$ C、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $x^{2} + 1 < 2 x$ D、 $\exists x \notin (0 ， + \infty)$ ，使得 $x^{2} + 1 \geq 2 x$

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3. 已知全集 $U = R$ ，集合 $P = {x | 2 x^{2} - x - 3 \leq 0}$ ， $Q = {x | x < 1}$ ，则 $P \cap (∁_{U} Q) =$ （）

A、 $[1 ， \frac{3}{2}]$ B、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， \frac{3}{2}]$ C、{1} D、 $\emptyset$

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4. 要得到函数 $y = 2 \sin \frac{x}{2}$ 的图像，只需将函数 $y = 2 \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度

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5. 设 $a = \log_{5} 2$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5}}$ ， $c = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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6. 函数 $f (x) = (x - 1) \cos π x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. “ $a > 2$ ”是“函数 $f (x) = (a - 1) x^{2} - 2 x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上是增函数”的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 在自然界，大气压强 $p$ （单位：mmHg）和海拔高度 $h$ （单位：m）的关系可用指数模型 $p = a e^{- k h}$ 来描述，根据统计计算得到 $a = 760$ ， $k = 0.000164$ ．现已知海拔500 m时的大气压强约为700 mmHg，则当大气压强约为350 mmHg时，海拔高度约为（）（参考数据： $\ln 2 = 0.69$ ）

A、3500 m B、4200 m C、4700 m D、5200 m

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二、多选题

9. 函数 $f (x) = x - 2 - \log_{4} | x |$ 的零点所在区间可能为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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10. 下列判断或计算正确的是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $2 \cos x_{0} = 3$ B、 $\cos 652 ° \sin (- 108 °) < 0$ C、 $\sin (45 ° - α) = \cos (45 ° + α)$ D、 $\tan θ \sqrt{1 - \sin^{2} θ} = \sin θ$

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11. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $2 x + y = 2$ ，若 $\frac{m x y}{m - 1} \leq x + 2 y$ 对任意的 $x > 0 ， y > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{10}{7}$ D、2

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12. 已知函数 $f (x) = \tan (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的最小正周期是 $2π$ ，则 $ω = \frac{1}{2}$ B、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 的对称中心的坐标为 $(k π + \frac{π}{6} ， 0) (k \in Z)$ C、当 $ω = 2$ 时， $f (- \frac{π}{12}) < f (\frac{2 π}{5})$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， π)$ 上单调递增，则 $0 < ω \leq \frac{2}{3}$

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三、填空题

13. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{- 2}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

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14. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 $x$ 的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$ ， $a ， b ， c ， d \in N^{*}$ ，则 $\frac{b + d}{a + c}$ 是 $x$ 的更为精确的近似值．已知 $\frac{113}{36} < π < \frac{63}{20}$ ，试以上述 $π$ 的不足近似值 $\frac{113}{36}$ 和过剩近似值 $\frac{63}{20}$ 为依据，那么使用两次“调日法”后可得 $π$ 的近似分数为．

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15. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20 cm的圆面中剪下扇形 $O A B$ ，使扇形 $O A B$ 的面积与圆面中剩余部分的面积比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形 $O A B$ 中剪下扇环形 $A B D C$ 制作扇面，使扇环形 $A B D C$ 的面积与扇形 $O A B$ 的面积比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为cm² ．

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16. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0)$ 的图象与直线 $y = m (0 < m < A)$ 的三个相邻交点的横坐标依次为1，5，7，则函数 $f (x)$ 的周期为；其单调减区间为．

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四、解答题

17.

(1)、已知 $\tan α = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{\sin α - \cos α}{\cos α + 3 \sin α}$ 的值；

(2)、求值： $8^{\frac{2}{3}} + 2^{\log_{2} 3} - \lg \frac{5}{2} - 2 \lg 2$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 满足条件： $f (x + π) = f (x)$ ，且 $f (\frac{π}{3} + x) = f (\frac{π}{3} - x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、由函数 $y = \sin x$ 的图象经过适当的变换可以得到 $f (x)$ 的图象．现提供以下两种变换方案：① $y = \sin x$ → $y = \sin (x + φ)$ → $y = f (x)$ ② $y = \sin x$ → $y = \sin ω x$ → $y = f (x)$ 请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x}} - 2^{x}$ ．

(1)、证明函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上为减函数；

(2)、当 $m > 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (m x^{2} - m^{2} x) + f (m - x) > f (0)$ ．

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20. 已知 $\sin θ + \cos θ = \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4}) = t$ ， $θ \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $t = \frac{1}{2}$ ，求 $\sin^{3} θ - \cos^{3} θ$ 的值；

(2)、求函数 $f (θ) = \sin θ + \cos θ - \sin θ \cos θ$ 的值域．

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21. 某工厂生产一新款智能迷你音箱，每日的成本 $C$ （单位：万元）与日产量x（ $x \in N^{*}$ ，单位：千只）的关系满足 $C = x + 2$ ．每日的销售额 $S$ （单位：万元）与日产量x的关系满足：当 $1 \leq x \leq 7$ 时， $S = \frac{16 x}{x + 1} + x$ ，当 $7 \leq x < 16$ 时， $S = 3 x + \frac{k}{x - 16} + 2$ ；当 $x \geq 16$ 时， $S = 28$ ．已知每日的利润 $L = S - C$ （单位：万元）．

(1)、求 $k$ 的值，并将该产品每日的利润L（万元）表示为日产量x（千只）的函数；

(2)、当日产量为多少千只时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

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22. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \ln x$ ．

(1)、若方程 $| f (x) | = \frac{1}{e^{x}}$ 有两个不等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），比较 $x_{1} x_{2}$ 与1的大小；

(2)、设函数 $g (x) = a f^{2} (x) - f (\frac{x^{2}}{e^{3}})$ （ $a > 0$ ），若 $\exists m ， n \in R$ ，使得 $y = g (x)$ 在定义域 $[e^{m} ， e^{n}]$ 上单调，且值域为 $[m ， n]$ ，求 $a$ 的取值范围．

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