湖北省天门市2020-2021学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {x | x < 5, x \in N^{*}}$ ， $M = {x | x^{2} - 5 x + 4 = 0}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 ${2, 3}$ B、 ${1, 5}$ C、 ${1, 4}$ D、 ${2, 3, 5}$

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x + | x | \geq 0$ ，则（）

A、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x + | x | \leq 0$ B、 $\neg p$ ： $\exists x \in R$ ， $x + | x | \leq 0$ C、 $\neg p$ ： $\exists x \in R$ ， $x + | x | < 0$ D、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x + | x | < 0$

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3. 下列函数中，最小正周期为 $π$ 的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \tan 2 x$ C、 $y = \sin \frac{1}{2} x$ D、 $y = \cos 2 x$

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4. 若角 $α$ 顶点在原点，始边在 $x$ 的正半轴上，终边上一点 $P$ 的坐标为 $(\sin \frac{4 π}{3}, \cos \frac{5 π}{3})$ ，则角 $α$ 为（）角．

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 为了得到函数 $y = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个长度单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个长度单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位

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6. 已知 $a ， b \in R^{+}$ ，且 $a + 2 b = 3 a b$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、6 D、9

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7. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为正实数，满足 ${(\frac{1}{2})}^{a} = \log_{2} a$ ， ${(\frac{1}{2})}^{b} = b^{2}$ ， $c^{\frac{1}{2}} = 2^{- c}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 2020年5月5日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是风经过桥面时产生旋涡，形成了卡门涡街现象．设旋涡的发生频率为 $f$ （单位：赫兹），旋涡发生体两侧平均流速为 $\bar{u}$ （单位：米/秒），漩涡发生体的迎面宽度为 $d$ （单位：米），表体通径为 $D$ （单位：米），旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为 $m$ ，根据卡门涡街原理，满足关系式： $f = \frac{s_{r} \cdot \bar{u}}{m \cdot d}$ ，其中： $s_{r}$ 称为斯特罗哈尔数．对于直径为 $d$ （即漩涡发生体的迎面宽度）的圆柱形漩涡发生体，满足 $m = 1 - \frac{2}{π} [\frac{d}{D} \sqrt{1 - {(\frac{d}{D})}^{2}} + θ]$ ， $\sin θ = \frac{d}{D}$ ， $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ．设 $a = \frac{d}{D}$ ，当 $a \leq 0.005$ 时，在近似计算中可规定 $a \approx 0$ ．已知某圆柱形漩涡发生体的直径为0.01米，表体通径为10米，当漩涡发生的频率为640赫兹时，斯特罗哈尔数 $s_{r}$ 等于0.16，则旋涡发生体两侧平均流速 $\bar{u}$ 约为（）米/秒．

A、20 B、40 C、60 D、80

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二、多选题

9. 下列各题中， $p$ 是 $q$ 的充要条件的有（）

A、 $p$ ：四边形是正方形； $q$ ：四边形的对角线互相垂直且平分 B、 $p$ ：两个三角形相似； $q$ ：两个三角形三边成比例 C、 $p$ ： $x y > 0$ ； $q$ ： $x > 0$ ， $y > 0$ ； D、 $p$ ： $x = 1$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根； $q$ ： $a + b + c = 0 (a \neq 0)$

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10. 如图是函数 $y = A \sin (ω x + φ) + B (0 < φ < π)$ 的部分图象，则下列说法正确的是（）

A、该函数的周期是16 B、该函数在区间 $(2021 ， 2025)$ 上单调递增 C、该函数图象的一个对称中心为 $(18 ， 20)$ D、该函数的解析式是 $y = 10 \sin (\frac{π}{8} x + \frac{3 π}{4}) + 20$

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11. 若 $a, b \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $a + \frac{1}{b} < b + \frac{1}{a}$ B、若 $a > b$ ，则 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、若 $a b \neq 0$ ，且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} \geq a + b$

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12. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” $y = f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in C_{R} Q \end{array}$ 其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集．则关于函数 $f (x)$ 有如下四个命题，正确的为（）

A、对任意 $x \in R$ ，都有 $f (- x) + f (x) = 0$ B、对任意 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in Q$ ， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1})$ C、若 $a < 0$ ， $b > 1$ ，则有 ${x | f (x) > a} = {x | f (x) < b}$ D、存在三个点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ ， $C (x_{3} ， f (x_{3}))$ ，使 $△ A B C$ 为等腰直角三角形

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三、填空题

13. 一个面积为2的扇形，所对的弧长为1，则该扇形的圆心角为弧度．

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14. 幂函数 $f (x) = x^{m^{2} - 4} (m \in Z)$ 在定义域内为奇函数且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} ， x > 0 \\ x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $m < n$ ， $f (m) = f (n)$ ，则 $n - m$ 的取值范围是．

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16. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形 $E F G H$ 拼成的一个大正方形 $A B C D$ ，若直角三角形中 $A F = a$ ， $B F = b$ ，较小的锐角 $∠ F A B = α$ ．若 ${(a + b)}^{2} = 196$ ，正方形 $A B C D$ 的面积为100，则 $\cos 2 α =$ ， $\sin \frac{α}{2} - \cos \frac{α}{2} =$ ．

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四、解答题

17. 在① ${1, a} \subseteq {a^{2} - 2 a + 2, a - 1, 0}$ ，②关于 $x$ 的不等式 $1 < a x + b \leq 3$ 的解集为 ${x | 3 < x \leq 4}$ ，③一次函数 $y = a x + b$ 的图象过 $A (- 1, 1)$ ， $B (2, 7)$ 两点，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
问题：已知_________，求关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 5 x + a > 0$ 的解集．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x - \frac{1}{4}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最值及相应的 $x$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，角 $α$ ， $β$ 的始边均为 $x$ 轴正半轴，终边分别与圆 $O$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $α \in (\frac{7 π}{12} ， π)$ ， $β = \frac{π}{12}$ ，且点 $A$ 的坐标为 $A (- 2 ， m)$ ．

(1)、若 $\tan 2 α = - \frac{4}{3}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $\tan ∠ A O B = - \frac{3}{4}$ ，求 $\cos 2 α$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{e^{x} + 1}$ 为奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值，判断函数 $f (x)$ 的单调性并用函数单调性的定义证明；

(2)、解不等式 $f (\ln x) < 0$ ．

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21. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产 $x$ 万件，需另投入流动成本为 $W (x)$ 万元，在年产量不足19万件时， $W (x) = \frac{2}{3} x^{2} + x$ （万元），在年产量大于或等于19万件时， $W (x) = 26 x + \frac{400}{x} - 320$ （万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

(2)、年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 对于函数 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $h (x)$ ，如果存在实数 $a$ ， $b$ 使得 $h (x) = a \cdot f_{1} (x) + b \cdot f_{2} (x)$ ，那么称 $h (x)$ 为 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ 的生成函数．

(1)、设 $f_{1} (x) = \log_{4} x$ ， $f_{2} (x) = \log_{\frac{1}{4}} x$ ， $a = 2$ ， $b = 1$ ，生成函数 $h (x)$ ．若不等式 $2 h^{2} (x) + 3 h (x) + t < 0$ 在 $x \in [4 ， 16]$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围．

(2)、设函数 $g_{1} (x) = \log_{3} (9^{x - 1} + 1)$ ， $g_{2} (x) = x - 1$ ，是否能够生成一个函数 $h (x)$ ．且同时满足：① $h (x + 1)$ 是偶函数；② $h (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上的最小值为 $2 \log_{3} 10 - 2$ ，若能够求函数 $h (x)$ 的解析式，否则说明理由．

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