湖北省2020-2021学年高一上学期数学元月期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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2. 命题“对任意的常数 $α$ ，函数 $f (x) = x^{α}$ 是幂函数”的否定是（）

A、对任意的常数 $α$ ，函数 $f (x) = x^{α}$ 不是幂函数 B、对任意的常数 $α$ ，函数 $f (x) = x^{α}$ 是幂函数 C、存在常数 $α$ ，函数 $f (x) = x^{α}$ 不是幂函数 D、存在常数 $α$ ，函数 $f (x) = x^{α}$ 是幂函数

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3. 设 $a = \log_{2} 0.3$ ， $b = \log_{0.3} 0.2$ ， $c = {0.2}^{0.3}$ ，则a，b，c之间的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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4. 函数 $y = \tan (x + \frac{π}{4})$ 的单调递增区间为（）

A、 $(k π - \frac{π}{4} ， k π + \frac{π}{4}) (k \in Z)$ B、 $(k π - \frac{π}{4} ， k π + \frac{3 π}{4}) (k \in Z)$ C、 $(k π - \frac{3 π}{4} ， k π + \frac{π}{4}) (k \in Z)$ D、 $(k π - \frac{3 π}{4} ， k π + \frac{3 π}{4}) (k \in Z)$

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5. 已知 $a < 0 < c < b$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a^{2} \leq b^{2}$ C、 $b + c < b c$ D、 $b - \frac{1}{b} > c - \frac{1}{c}$

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6. 某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间x( $x \in N$ )(单位：月)的关系有三种函数模型 $y = p a^{x}$ ( $p > 0$ ， $a > 1$ )､ $y = m \log_{a} x$ ( $m > 0$ ， $a > 1$ )和 $y = n x^{α}$ ( $n > 0$ ， $0 < α < 1$ )可供选择，则下列说法正确的是（）

A、应选 $y = p a^{x}$ ( $p > 0$ ， $a > 1$ ) B、应选 $y = m \log_{a} x$ ( $m > 0$ ， $a > 1$ ) C、应选 $y = n x^{α}$ ( $n > 0$ ， $0 < α < 1$ ) D、三种函数模型都可以

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7. 已知幂函数 $f (x) = (t^{2} - 4 t - 4) x^{t - 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $f (4) =$ （）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{1}{64}$ C、32 D、64

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8. 函数 $f (x) = \frac{1 - 3^{x}}{1 + 3^{x}} \cos 3 x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x - 1) + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $(s, t)$ ，正数 $m$ 、 $n$ 满足 $m + n = s + t$ ，则（）

A、 $m + n = 4$ B、 $m^{2} + n^{2} \geq 8$ C、 $m n \geq 4$ D、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq 1$

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10. 若将函数 $f (x) = \sin (x - \frac{π}{12})$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变)，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列关于 $g (x)$ 的说法错误的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为2π B、 $g (x)$ 图象的一个对称中心坐标为 $(\frac{π}{12} ， 0)$ C、 $g (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ D、 $g (x)$ 图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{4}$

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11. 已知 $4 \cos (- α - \frac{π}{4}) = \sin (2 α + \frac{3 π}{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\cos α + \sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $α = k π + \frac{π}{4} (k \in Z)$ C、 $\tan 4 α = 0$ D、 $\tan α = 1$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (- x) = 0$ ， $f (x + 2) - f (x) = 0$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = - 2 {(x - 1)}^{2}$ ，若函数 $y = f (x) - \log_{a} (x + 1)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 B、当 $x \in [4 ， 5]$ 时， $f (x) = - 2 {(x - 5)}^{2}$ C、当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x)$ 单调递减 D、a的取值范围是 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2021 \cdot \ln (x - 1)}$ 的定义域为.

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14. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有75%的学生喜欢足球或游泳，56%的学生喜欢足球，38%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是.

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15. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) - f (- x) = 3 x^{3}$ ，则 $f (x) =$ .

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16. 已知函数 $g (x) = 3 \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0)$ 满足 $g (\frac{π}{4}) = 0$ ， $g (π) = 3$ ，且最小正周期 $T \geq \frac{π}{3}$ ，则符合条件的 $ω$ 的取值个数为.

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四、解答题

17. ①角 $α$ 的终边上有一点 $M (2, 4)$ ；②角 $α$ 的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为 $\frac{1}{3}$ ；③ $2 α$ 为锐角且 $\frac{\sin 4 α}{\cos^{2} 2 α - 2 \sin^{2} 2 α} = 2$ .在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.
问题：已知角 $α$ 的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴上，__________.求 $\cos (2 α + \frac{π}{3})$ 的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x + m \leq 0}$ ， $B = {y | y = 3^{x} ， x \leq n}$ .

(1)、若集合A为空集，求实数m的取值范围：

(2)、当 $m = - 8$ 时，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数n的取值范围.

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19. 体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式(以下 $x_{1} \neq x_{2}$ ).方式一：小明一半的时间以 $x_{1} m/s$ 的速度行走，剩余一半时间换为以 $x_{2} m/s$ 的速度行走，平均速度为 $\bar{v_{1}}$ ；方式二：小明一半的路程以 $x_{1} m/s$ 的速度行走，剩余一半路程换为以 $x_{2} m/s$ 的速度行走，平均速度为 $\bar{v_{2}}$ .

(1)、试求两种行走方式的平均速度 $\bar{v_{1}}$ ， $\bar{v_{2}}$ ；

(2)、比较 $\bar{v_{1}}$ ， $\bar{v_{2}}$ 的大小.

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20. 已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 4^{x} - m \cdot 3^{x} - 2$ ，其中m是常数.

(1)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义法证明： $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增.

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示，其中最高点以及与x轴的一个交点的坐标分别为 $(\frac{π}{6} ， 1)$ ， $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设M，N为函数 $y = t$ 的图象与 $f (x)$ 的图象的两个交点(点M在点N左侧)，且 $| M N | = \frac{π}{3}$ ，求t的值.

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22. 已知函数 $f (x) = {(\log_{4} x)}^{2} - a \log_{4} x + 3$ ，其中a为常数.

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若对 $\forall x \in [4^{\frac{1}{4}}, 4^{4}]$ ， $1 \leq f (x) \leq 27$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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