福州省四校联盟2020-2021学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列集合与集合 $A = {2, 3}$ 相等的是（）

A、 ${(2, 3)}$ B、 ${(x, y)} | x = 2, y = 3}$ C、 ${x | x^{2} - 5 x + 6 = 0}$ D、 ${x \in N | x^{2} - 9 \leq 0}$

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2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = e^{x}$

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \log_{2} x - 5 + x$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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5. 为了得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象，可以将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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6. 设 $a = 3^{0.7} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8} ， c = \log_{0.7} 0.8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7. 设 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， β \in (0 ， \frac{π}{2} ）$ ，且 $tan α = \frac{1 +sin β}{cos β}$ ，则（）

A、 $3 α - β = \frac{π}{2}$ B、 $3 α + β = \frac{π}{2}$ C、 $2 α - β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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8. 基本再生数R₀与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R₀ ， T近似满足R₀ =1+rT.有学者基于已有数据估计出R₀=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）

A、1.2天 B、1.8天 C、2.5天 D、3.5天

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二、多选题

9. 已知a，b，c为非零实数，且 $a - b \geq 0$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a + c \geq b + c$ B、 $- a \leq - b$ C、 $a^{2} \geq b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$

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10. 下列函数中,最小值为2的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 3$ B、 $y = \sin x + \frac{1}{\sin x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ C、 $y = e^{x} + e^{- x}$ D、 $y = \ln x + \frac{1}{\ln x} (x > 0 ， x \neq 1)$

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11. 在 $Δ A B C$ 中,下列关系恒成立的是（）

A、 $\tan (A + B) = \tan C$ B、 $\cos (2 A + 2 B) = \cos 2 C$ C、 $\sin (\frac{A + B}{2}) = \sin \frac{C}{2}$ D、 $\sin (\frac{A + B}{2}) = \cos \frac{C}{2}$

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12. 函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则（）

A、该函数的解析式为 $y = 2 \sin (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ B、该函数的对称中心为 $(k π - \frac{π}{3} ， 0) ， k \in Z$ C、该函数的单调递增区间是 $[3 k π - \frac{5 π}{4} ， 3 k π + \frac{π}{4}] ， k \in Z$ D、把函数 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{3}{2}$ ，纵坐标不变，可得到该函数图象

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三、填空题

13. 若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为.

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14. 若命题“ $\forall x \in R, x^{2} + 2 m x + m + 2 \geq 0$ ”为真命题，则 $m$ 的取值范围是

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15. 已知函数 $f (x) = a \cos x + b (a > 0)$ 的最大值为3，最小值为1，则函数 $y = f (2 x) - 2 f (x) (x \in [\frac{π}{3} ， π]$ 的值域为.

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16. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} l g x ， 0 < x \leq 10 \\ | - \frac{1}{2} x + 6 | ， x > 10 \end{matrix}$ ，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中,已知角 $α$ 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $\tan α$ 与 $\cos (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、计算 $\frac{\sin (π - α) + \cos (2 π + α)}{\sin (- α) + \sin (\frac{π}{2} + α)}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，且 $f (1) = \frac{1}{3}$ .

(1)、求实数 $a$ 及 $f (\log_{2} 5)$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明.

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19. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ $(x \in R)$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量 $x$ 的值.

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20. 如图，某公园摩天轮的半径为40 $m$ ，圆心O距地面的高度为50 $m$ ，摩天轮做匀速转动，每3 $min$ 转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.

(1)、已知在 $t (\min)$ 时点P距离地面的高度为 $f (t) = A \sin (ω t + φ) + h (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ，求 $t = 2020$ 时，点P距离地面的高度；

(2)、当离地面 $(50 + 20 \sqrt{3}) m$ 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.

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21. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：

年份	2015	2016	2017	2018
投资成本x	3	5	9	17	…
年利润y	1	2	3	4	…

给出以下3个函数模型：① $y = - x + b$ ；②y＝ab^x(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝log_a(x＋b)(a＞0，且a≠1)．

(1)、选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；

(2)、试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (x + 2) + \log_{4} (x - 4)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若函数 $g (x) = a \cdot 4^{x} - 2^{x + 1} - a$ ，且对任意的 $x_{1} \in [5, 6]$ ， $x_{2} \in [1, 2]$ ， $f (x_{1}) < g (x_{2})$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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