福建省漳州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1}$ ， $B = {0, 1, 2}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数是（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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2. 已知角 $α$ 的终边上有一点 $P$ 的坐标是 $(3, 4)$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} - α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 已知 $a = 2^{0.3}$ ， $b = {0.3}^{0.2}$ ， $c = \log_{2} 0.3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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4. 函数 $f (x) = \log_{2} x + x - 8$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(6, 7)$

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5. 若正数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{2}{x} + y = 1$ ，则 $x + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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6. 函数 $f (x) = \frac{x}{2 \ln | x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $0 < α < \frac{π}{2}$ ，则 $\tan α$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $- \frac{1}{2}$ 或2

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 1$ ，对于 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，则不等式 $f (\log_{2} x) + 1 < \log_{2} x^{2}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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二、多选题

9. 已知 $a ， b ， c \in R$ 且 $a > b > c > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 a > b + c$ B、 $a (c - b) > b (c - b)$ C、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ D、 $b - c > a - c$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + a$ ，若对于区间 $[- 1, 2]$ 上的任意两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围可以是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, 3]$ C、 $[- 1, 2]$ D、 $[3, + \infty)$

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11. 下列说法正确的是（）

A、 $\exists x \in R$ ，使得 $2^{x} \leq 0$ B、命题“ $\forall x \in R$ ， $\sin x + 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ， $\sin x + 1 \leq 0$ ” C、“ $x > 1$ ”的一个充分不必要条件是“ $x > 0$ ” D、若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，则“ $| \lg m | = | \lg n |$ ”是“ $m n = 1$ ”的必要不充分条件

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ， $g (x) = \sin x \cdot \cos x$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 B、函数 $y = | g (x) |$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ C、函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递减 D、把函数 $y = f (2 x)$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数 $y = g (x)$ 图象的对称轴完全相同

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三、填空题

13. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2}, 4)$ ，则 $f (\sqrt{2}) =$ .

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14. 函数 $f (x) = {0.3}^{1 - x^{2}}$ 的单调递增区间为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x < 1 \\ - x^{2} + 4 x - 3 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若方程 $f (4 \sin x - 1) = a$ 在 $(0 ， π)$ 上有8个实数根，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和其对弦 $A B$ 围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦 $A B$ 的长是 $6 \sqrt{3}$ ，则弧田的弧长为；弧田的面积是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 0 < \frac{x - 1}{3} \leq 1}$ ， $B = {x | y = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 10 x - 16}}}$ .

(1)、若集合 $C = {x | x \leq a}$ 满足 $A \cap C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若集合 $D = x | x \in A \cup B$ 且 $x \notin A \cap B}$ ，求集合 $D$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象与直线 $y = 2$ 的相邻两个交点间的距离为 $2 π$ ，且________.在①函数 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数；② $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3}$ ；③ $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ ；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间.

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19. 已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - a x + 1$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上有两个相异的零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最小值为0，求实数 $a$ 的值.

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20. 如图，在扇形 $O M N$ 中，半径 $O M = 10$ ，圆心角 $∠ M O N = \frac{π}{6}$ ， $D$ 是扇形弧上的动点，矩形 $A B C D$ 内接于扇形，记 $∠ D O N = θ$ ，矩形 $A B C D$ 的面积为 $S$ .

(1)、用含 $θ$ 的式子表示线段 $D C$ ， $O B$ 的长；

(2)、求 $S$ 的最大值.

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21. 漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = {\begin{array}{l} 2 (x^{2} + 17), 0 \leq x \leq 2 \\ 50 - \frac{8}{x - 1}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，且单株施用肥料及其它成本总投入为 $20 x + 10$ 元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ， $g (x) = \log_{3} \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、求 $f (\log_{2} 2020) + g (- \frac{1}{2})$ 的值；

(2)、试求出函数 $g (x)$ 的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）

(3)、若函数 $F (x) = f (2 x) - 3 f (x)$ ，且对 $\forall x_{1} \in [0, 1]$ ， $\forall x_{2} \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ ，都有 $F (x_{1}) > g (x_{2}) + m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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