福建省泉州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = {x | x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x < 1}$ B、 ${x | x < 3}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${x | - 2 < x < 3}$

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2. 2020年11月24日凌晨4时30分，中国文昌航天发射场，又一次“重量级”发射举世瞩目.长征五号遥五运载火箭点火升空，托举嫦娥五号探测器至地月转移轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅，已知火箭的最大速度 $v$ （单位： $km/s$ ）和燃料质量 $M$ （单位： $kg$ ）、火箭质量 $m$ （单位： $kg$ ）的关系是 $v = 2000 \ln (1 + \frac{M}{m})$ .若火箭的最大速度为 $9240 km/s$ ，则 $\frac{M}{m} \approx$ （）（参考数值： $e^{4.62} \approx 101$ ）

A、 $\frac{1}{100}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、10 D、100

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3. 若不等式 $a x^{2} + b x - 1 \geq 0$ 的解集是 ${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq - \frac{1}{3}}$ ，则 $a =$ （）

A、-6 B、-5 C、 $\frac{6}{5}$ D、6

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4. 下列命题中，正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} > x^{2}$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ C、 $\exists x \in (0, 1)$ ， $\log_{2} x > x$ D、 $\exists x \in (0, π)$ ， $\sin x + \cos x = 2$

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5. 函数 $f (x) = \ln | \frac{1 + x}{1 - x} |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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7. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A B > A D$ .设点 $B$ 关于 $A C$ 的对称点为 $B^{'}$ ， $A B^{'}$ 与 $C D$ 交于点 $P$ ，若 $C P = 3 P D$ ，则 $\tan ∠ B C B^{'} =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$

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8. 已知 $a = \log_{5} 3$ ， $b = \log_{6} 4$ ， $c = \log_{12} 8$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 下列函数中，与 $y = x$ 是同一个函数的是（）

A、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $y = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = \lg 10^{x}$ D、 $y = 10^{\lg x}$

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10. 下列命题中，正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ C、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ D、若 $- 1 < a < 5$ ， $2 < b < 3$ ，则 $- 4 < a - b < 3$

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11. 已知直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的一条对称轴，则（）

A、 $f (x + \frac{π}{8})$ 是奇函数 B、 $x = \frac{3 π}{8}$ 是 $f (x)$ 的一个零点 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{8} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、 $y = f (x)$ 与 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ， $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ，且当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = 1 - | 2 x - 3 |$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为2 B、当 $x \in (- 3 ， - 2)$ 时， $f (x) > 0$ C、 $f (x)$ 在 $(- 2 ， - 1)$ 上为增函数 D、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 过点 $(4, 2)$ ，则 $f (9) =$ ．

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边交单位圆 $O$ 于点 $P (\frac{1}{2}, b)$ ，则 $\sin (\frac{π}{2} - α) =$ .

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x - 1), x \geq 2 \\ 2^{x}, x < 2 \end{array}$ ，则 $f (\log_{2} 3) =$ ；不等式 $f (x) > 4$ 的解集为.

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16. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b - 1$ （ $a > 0$ 且 $b > - 1$ ）， $g (x) = x - 1$ .若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) g (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a + b =$ ； $\frac{a^{2} + 3}{a} + \frac{b^{2}}{b + 1}$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | (x - a) (x + a + 1) \leq 0}$ ， $B = {x | x \leq 3$ 或 $x \geq 6}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、当 $a > 0$ 时，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π$ ， $\tan (α + \frac{π}{4}) = - 2$ ， $\sin β = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $\frac{\sin α + 3 \cos α}{2 \sin α - \cos α}$ 的值；

(2)、求 $\sin (α + 2 β)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} + a}{2^{x}}$ .

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - (a + 1)$ 在 $[- 1, 1]$ 上有2个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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20. 现给出以下三个条件：
① $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ；

② $f (x)$ 的图象上的一个最低点为 $A (\frac{2 π}{3} ， - 2)$ ；

③ $f (0) = 1$ .

请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题.

已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (0 < ω < 5 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，满足________，________.

(1)、根据你所选的条件，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $g (x)$ 的图象求函数 $y = f (x) g (x) - 1$ 的单调递增区间.

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21. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速 $80 km/h$ （不含 $80 km/h$ ）.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量 $M$ （单位： $Wh$ ）与速度 $v$ （单位： $km/h$ ）的下列数据：

$v$

0

10

40

60

$M$

0

1325

4400

7200

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：

$M (v) = \frac{1}{40} v^{3} + b v^{2} + c v$ ， $M (v) = 1000 {(\frac{2}{3})}^{v} + a$ ， $M (v) = 300 \log_{a} v + b$ .

(1)、当 $0 \leq v < 80$ 时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)、现有一辆同型号汽车从 $A$ 地驶到 $B$ 地，前一段是 $200 km$ 的国道，后一段是 $50 km$ 的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量 $N$ （单位： $Wh$ ）与速度的关系是： $N (v) = 2 v^{2} - 10 v + 200 (80 \leq v \leq 120)$ ，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 的最大值为5，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，若对任意实数 $t$ ，总存在 $x_{1}, x_{2} \in [t, t + 1]$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \geq 2$ .求 $a$ 的取值范围.

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$v$	0	10	40	60
$M$	0	1325	4400	7200