福建省龙岩市2020—2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 \leq x < 4}$ ， $B = {x | 3 x - 7 \geq 8 - 2 x}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x < 3}$ B、 ${x | 2 \leq x < 5}$ C、 ${x | 3 \leq x < 4}$ D、 ${x | 3 \leq x < 5}$

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2. 若 $a, b, c \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $- 2 a < - 2 b$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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3. “ $α \in (0, π)$ ”是“ $\sin α > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $\sin θ = 2 \cos θ$ ，则 $\tan (π - θ) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、-2

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 是函数 $y = 10^{x}$ 的反函数，则 $f (10) =$ （）

A、1 B、2 C、10 D、 $10^{10}$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{\cos 6 x}{e^{x} - e^{- x}}$ ，则 $f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆 $O$ （ $O$ 为坐标原点）的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.则下列函数中一定是“优美函数”的为（）

A、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \ln (x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1})$ D、 $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 \cos π x ， x < 1 \\ f (x - 1) ， x \geq 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} x (a > 1)$ 至少有五个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(1 ， 2)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x + 1, x > 0 \\ x^{2} - x, x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = 2$ ，则 $f (a + 2)$ 的值可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 设函数 $f (x) = 2 \sin \frac{π}{4} x$ ， $g (x) = 2 \cos \frac{π}{4} x$ ，在 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象的交点中，任意连续三个交点两两相连构成一个 $△ A B C$ ，则以下说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(8 ， 0)$ 对称 B、把函数 $f (x)$ 的图象向左平移2个单位得到函数 $g (x)$ 的图象 C、 $△ A B C$ 是等腰直角三角形 D、 $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$

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11. 存在函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in R$ 都有（）

A、 $f (| x |) = x^{2}$ B、 $f (| x |) = x$ C、 $f (\sin x) = \cos 2 x$ D、 $f (\cos x) = \sin 2 x$

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a + b} \geq \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b - 1} \geq 4$ C、 $\frac{2 + b}{a + b} < \frac{9}{8}$ D、 $a b > 4^{(\frac{1}{b} - \frac{1}{a})}$

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三、填空题

13. 若命题 $p : \exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x \geq 0$ ，则命题 $p$ 的否定为.

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14. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，若角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，其终边上一点 $P$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，则 $\cos α =$ .

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15. 设 $a = 4^{\frac{1}{3}}$ ， $b = 2^{\frac{2}{5}}$ ， $c = \sqrt[3]{9}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为.（用“ $<$ ”连接）

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16. 若函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4} ω) (ω > 0)$ 取得最值的点到 $y$ 轴的最近距离小于 $\frac{π}{6}$ ，且 $f (x)$ 在 $(\frac{7 π}{20} ， \frac{11 π}{20})$ 单调递增，则 $ω$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 设 $p$ ：实数 $x$ 满足 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ， $q$ ：实数 $x$ 满足 $x + m - 3 > 0$ .

(1)、若 $p$ 为真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = - x + \frac{a}{x}$ ，其中 $a \in R$ ， $f (2) = 0$ ，函数 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x), x \geq 1 \\ 2 x + 1, x < 1 \end{array}$ .

(1)、求 $a$ 的值并用定义法证明函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递减；

(2)、若 $g (m) > g (m + 1)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a \sin (x + θ) + 2 \cos (x + 2 θ)$ ，其中 $a \in R$ ， $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

(1)、当 $a = 0$ ， $θ = \frac{π}{6}$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上的值域；

(2)、若关于 $θ$ 的方程 $f (π) = 0$ 有两个不同的实数解，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对任意正实数 $a$ 、 $b$ 都有 $f (a b) + 1 = f (a) + f (b)$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ .

(1)、求 $f (2021) + f (\frac{1}{2021})$ 的值，判断函数 $f (x)$ 的单调性并加以证明；

(2)、当 $x \in [1, 3]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f (k x - 3) + f (x) > 2$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 在校园美化、改造活动中，甲、乙两所学校各要修建一个矩形的观赛场地.

(1)、甲校决定在半径为 $30 m$ 的半圆形空地 $O$ 的内部修建一矩形观赛场地 $A B C D$ .如图所示，求出观赛场地的最大面积；

(2)、乙校决定在半径为 $30 m$ 、圆心角为 $\frac{2}{3} π$ 的扇形空地 $O$ 的内部修建一矩形观赛场地 $A B C D$ ，如图所示，请你确定 $B$ 点的位置，使观赛场地的面积最大，并求出最大面积.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{x} + 1) + b x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ）是偶函数，函数 $g (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ） .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - \frac{1}{2} x - a$ 有零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，若 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $g (2 x_{1}) + m g (x_{1}) - f (2 x_{2}) > 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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