黑龙江省齐齐哈尔市讷河市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 计算 ${(- 2 m^{2})}^{3} \div {(m \cdot m)}^{2}$ 的结果是（）

A、 $- 2 m$ B、 $2 m^{2}$ C、 $- 8 m^{2}$ D、 $- 8 m$

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2. 下列图形中，不是中心对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上， $∠ 1 = 30 °$ ， $∠ 2 = 50 °$ ， $∠ 3 =$ （）度

A、10 B、20 C、30 D、50

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4. 一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成其主视图和左视图如图所示则组成这个几何体的小正方体最少有 $a$ 个，最多有 $b$ 个， $b - a =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 如图，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $A (2 ， 4)$ 与点 $B (4 ， m)$ ，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表

车速/ $(km/h)$

48

49

50

51

52

车辆数/辆

6

10

3

1

4

则上述车速的中位数和众数分别是（）

A、49，10 B、50，49 C、50，8 D、49，49

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7. 某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是（）

A、45% B、50% C、90% D、95%

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8. 某校组织10名党员教师和38名优秀学生团干部去某地参观学习．学校准备租用汽车，学校可选择的车辆（除司机外）分别可以乘坐4人或6人，为了安全每辆车上至少有1名教师，且没有空座，那么可以选择的方案有（）

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

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9. 下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离 $(y)$ 与时间 $(x)$ 之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 为常数， $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴的交点 $A (- 1 ， 0)$ ，顶点坐标 $(1 ， n)$ ，与 $Y$ 轴交点在 $(0 ， 2)$ 和 $(0 ， 3)$ 之间（包括端点），则下列结论：① $3 a + b > 0$ ；② $- 1 \leq a \leq - \frac{2}{3}$ ；③对于任意实数 $m$ ， $a + b \geq m (a m + b)$ 总成立；④关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = - 4 a - 1$ 有两个不相等的实根，其中正确的是（）

A、①②③ B、②③④ C、①④ D、②③

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二、填空题

11. 截至2020年1月26日0时，全国各级财政已下达疫情防控补助资金112.1亿元，112.1亿这个数用科学记数法可表示为．

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12. 在函数y= $\frac{x}{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是．

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13. 在数学兴趣小组中某一组有女生4名，男生2名，随机指定两人参加比赛，恰好是两名男生的概率是．

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14. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x - 1} = \frac{3 a}{2 x - 2} - 3$ 有正数解，则a的取值范围．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， B C = 12$ ， $E$ 为 $A B$ 中点，点 $F$ 为 $B C$ 上一动点，将 $△ E B F$ 沿 $E F$ 所在直线折叠到 $△ E G F$ 的位置，连接 $G D$ ，则 $G D$ 的最小值为．

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16. 在 $▱ A B C D$ 中，边 $A B = 15$ ，对角线 $A C = 13$ ， $B C$ 边的高 $A E = 12$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为．

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17. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $B C = b$ ，两条对角线相交于点 $O$ ， $O B$ 、 $O C$ 为邻边作第1个平行四边形 $O B B_{1} C$ ，对角线相交于点 $A_{1}$ ，以为 $A_{1} B_{1}$ 、 $A_{1} C$ 邻边作第2个平行四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} C$ ，对角线相交于 $O_{1}$ ；再以 $O_{1} B_{1}$ 、 $O_{1} C_{1}$ 为邻边作第3个平行四边形 $O_{1} B_{1} B_{2} C_{1}$ ……此类推，第2020个平行四边形的面积．

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三、解答题

18. 计算

(1)、计算 ${(π - 4)}^{0} + | 3 - \tan 60^{\circ} | - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + \sqrt{27}$

(2)、因式分解 $a^{2} b + a b^{2} - a - b$

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19. 解方程： $3 x^{2} + 4 x = - 1$ ．

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20. 如图， $B D$ 是⊙O的直径， $A$ 是 $B D$ 延长线上的一点，点 $E$ 在⊙O上， $B C ⊥ A E$ ，交 $A E$ 的延长线于点 $C$ ， $B C$ 交⊙O于点 $F$ ，且 $E$ 为 $\overset{⌢}{D F}$ 的中点．

(1)、求证： $A C$ 是⊙O的切线；

(2)、若 $A D = 4$ ， $A E = 4 \sqrt{2}$ ，求 $B C$ 的长．

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21. 齐齐哈尔市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查（分数为整数，满分100分），根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了如下统计表和统计图．（如图）

分数

59.5分以下

59.5分以上

69.5分以上

79.5以上

89.5以上

人数

3

42

32

20

8

(1)、被抽查的学生为人．

(2)、请补全频数分布直方图．

(3)、若全市参加考试的学生大约有4500人，请估计成绩优秀的学生约有多少人？（80分及80分以上为优秀）

(4)、若此次测试成绩的中位数为78分，请直接写出78.5～89.5分之间的人数最多有多少人？

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22. 2020年疫情期间，黑龙江省齐齐哈尔市捐赠150吨马铃薯驰援武汉，这些蔬菜将分别捐赠给武汉市红十字会医院、武汉市东西湖区人民医院和方舱医院等20余家医院．在运输过程中，其中甲、乙两车在同一地点出发且相约在距出发地 $360km$ 的A地汇合，两车在一条笔直的路上匀速行驶，甲车先出发，乙车后出发，乙车超过甲车后出现故障，停车检修，当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以原来的速度继续行驶．如图是甲、乙两车行驶的路程 $y$ （单位： $km$ ）与甲车行驶时间 $x$ （单位： $h$ ）的函数图象．

(1)、甲车的速度是 $km/h$ ，乙车的速度是 $km/h$ ；

(2)、求乙车出现故障前行驶的路程 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、直接写出乙车出发多长时间，两车相距40 $km/h$ ．

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23. 综合与实践
如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，并连接CE，BD．

(1)、操作发现：当等腰Rt△ADE绕点A旋转，如图2，勤奋小组发现了：
①线段CE与线段BD之间的数量关系是．

②直线CE与直线BD之间的位置关系是．

(2)、类比思考：智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3，若△ABC与△ADE都为直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AC＝2AB，AE＝2AD，请你写出CE与BD的数量关系和位置关系，并加以证明．

(3)、拓展应用：创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线AB上方时，若DE∥AB，且AB＝ $\sqrt{5}$ ，AD＝1，其他条件不变，试求出线段CE的长．（直接写出结论）

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24. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x - 2$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A（-1，0）．

(1)、求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并证明你的结论；

(3)、点 $M (m ， 0)$ 是 $x$ 轴上的一个动点，
①当 $M C + M D$ 的值最小时，m=；

②过点 $M$ 作 $M H ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $H$ ，连接 $B H ， C H$ ， $△ H B C$ 面积的最大值为；

(4)、 $P$ 为坐标轴上一点，在平面内是否存在点 $Q$ ，使以 $B ， C ， P ， Q$ 为顶点的四边形为矩形?若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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分数	59.5分以下	59.5分以上	69.5分以上	79.5以上	89.5以上
人数	3	42	32	20	8

车速/ $(km/h)$	48	49	50	51	52
车辆数/辆	6	10	3	1	4