黑龙江省哈尔滨市道里区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各点中，在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 图象上的是（）

A、（－1，8） B、（－2，4） C、（1，7） D、（2，4）

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2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，是白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 把函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} + 2$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$

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6. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）

A、(1.5+150tanα) 米 B、(1.5+ $\frac{150}{\tan α}$ )米 C、(1.5+150sinα)米 D、(1.5+ $\frac{150}{\sin α}$ )米

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A B C = 30 ° ， A C = 1 c m ，$ 将 $R t △ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $R t △ A B^{'} C^{'}$ ，使点 $C^{'}$ 落在 $A B$ 边上，连接 $B B^{'}$ ，则 $B B^{'}$ 的长度是（）

A、 $1 c m$ B、 $2 c m$ C、 $\sqrt{3} c m$ D、 $2 \sqrt{3} c m$

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8. 如图， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆，已知 $∠ A B C$ 为130°，则 $∠ A O C$ 的度数为（）

A、50° B、80° C、100° D、115°

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上， $D E / / B C$ ， $E F / / A B$ ，则下列式子一定正确的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{C E}{A E}$ B、 $\frac{C E}{A C} = \frac{C F}{B F}$ C、 $\frac{A B}{A C} = \frac{C E}{B D}$ D、 $\frac{D E}{C F} = \frac{A E}{E C}$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $(4 ， 0)$ ，其对称轴为直线 $x = 1$ ，结合图象给出下列结论：
① $a b c < 0$ ；

② $4 a - 2 b + c = 0$ ；

③当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一个实数根．

其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中，点 $(3 ， 2)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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12. 抛物线 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ 的顶点坐标是．

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13. 一辆汽车行驶的路程（单位：m）关于时间（单位：s）的函数解析式是 $s = 9 t + \frac{1}{2} t^{2}$ ，经过16s汽车行驶了m．

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14. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点A（ $- 2$ ，3），则 $k$ 的值为．

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15. 如图， $A D$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ B A D = 40 °$ ，则 $∠ A C B =$ $°$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $\sin A = \frac{3}{4}$ ， $B C = 6$ ，则AC的长为．

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17. 若扇形的圆心角为45°，半径为6，则该扇形的弧长为．

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18. AB 是 $⊙ O$ 的弦， $O M ⊥ A B$ ，垂足为M，连接OA．若 $△ A O M$ 中有一个角是30°， OM=3 ，则弦AB的长为．

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19. 同时掷两枚质地均匀的骰子；两枚骰子点数之和为10的概率为．

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20. 如图， $△ A B C$ 的中线AD与高CE交于点 $F$ ， $A E = E F$ ， $F D = 2$ ， $S_{△ A C F} = 24$ ，则AB的长为．

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三、解答题

21. 先化简，再求代数式 $(1 + \frac{2}{x - 1}) \div \frac{x^{3} - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = 3 \tan 30 °$ ．

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22. 如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A．B均在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出等腰 $△ A B C$ ，点C在小正方形顶点上；

(2)、在（1）的条件下确定点C后，再确定点D，点D在小正方形顶点上，请你连接DA，DC，DB，使 $\tan ∠ A C D = \frac{1}{3}$ ，并求出四边形ADBC的面积．

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23. 为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，高远中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)、这次活动共抽查学生多少名？

(2)、请通过计算补全条形统计图；

(3)、若高远中学共有1600名学生，估计该中学“优秀”等次的学生有多少名？

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．

(1)、求证： $C F = A F$ ；

(2)、在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形．

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25. 某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．

(1)、求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

(2)、班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？

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26. $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $C A = C B$ ，BD为 $⊙ O$ 的直径， $∠ D B C = 30 °$ ．

(1)、如图1，求证： $△ A B C$ 为等边三角形；

(2)、如图2，弦AB交BC于点F，点G在EC上， $∠ B A F = ∠ G A F$ ，求证： $F B = F C$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，弦BH分别交AF，AG于P，Q两点， $P O = D H = \sqrt{3}$ ， $A C = 3 \sqrt{7}$ ，求QG的长．

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27. 在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ， $O B = O C = \frac{3}{2} O A$ ．

(1)、如图 $1$ ，求抛物线的解析式；

(2)、如图 $2$ ，点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 在第二象限，连接 $D B$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，若 $\tan ∠ E B A = \frac{1}{2}$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下，点 $P$ 在抛物线上，且点 $P$ 在第三象限，点 $F$ 在 $P B$ 上， $F C = F B$ ，过点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线，点 $G$ 为垂足，连接 $D G$ 并延长交 $B F$ 于点 $H$ ，若 $∠ D H P = ∠ C E B$ ，求 $B P$ 的长．

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