福建省厦门市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 一组数据，1，2，3，4，3的众数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 下列方程中有两个相等实数根的是（）

A、 $(x - 1) (x + 1) = 0$ B、 $(x - 1) (x - 1) = 0$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ D、 $x (x - 1) = 0$

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3. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x \geq - 1 \\ x > - 1 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x > - \frac{1}{2}$ C、 $x \geq - \frac{1}{2}$ D、 $- 1 < x \leq - \frac{1}{2}$

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4. 如图所示的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $C D$ 上，把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A B F$ ， $∠ F A B = 20 °$ ．旋转角的度数是（）

A、110° B、90° C、70° D、20°

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5. 一个扇形的圆心角是120°，半径为3，则这个扇形的面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $6 π$

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6. 为解决在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球的问题，小明画出如图所示的树状图．已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有（）

A、1种 B、2种 C、3种 D、4种

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7. 如图，在正六边形 $A B C D E F$ 中，连接 $B F$ ， $B E$ ，则关于 $△ A B F$ 外心的位置，下列说法正确的是（）

A、在 $△ A B F$ 内 B、在 $△ B F E$ 内 C、在线段 $B F$ 上 D、在线段 $B E$ 上

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8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了m个人，则第二轮被传染上流感的人数是（）

A、 $m + 1$ B、 ${(m + 1)}^{2}$ C、 $m (m + 1)$ D、 $m^{2}$

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9. 东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝 $(M N)$ 向右水平拉直（保持 $M$ 端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝 $N$ 端的位置最接近的是（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、点 $D$

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10. 为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为 $12 m$ 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中 $O$ 为中心， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线 $l$ 上与点 $O$ 相距 $14 m$ 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为 $10 m$ ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是1的概率是．

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12. 若 $x = 3$ 是方程 $x^{2} - b x + 3 = 0$ 的一个根，则 $b$ 的值为．

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13. 抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2} + 2$ 的对称轴是．

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14. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，点 $D$ 在 $A B$ 上， $A C = A D$ ， $O E ⊥ C D$ 于 $E$ ．若 $∠ C O D = 84 °$ ，则 $∠ E O D$ 为．

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15. 在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，点 $A$ 在第一象限， $B$ $(2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $O A = A B$ ， $∠ A O B = 30 °$ ，把 $△ O A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转60°得到 $△ M P B$ ，点 $O$ ， $A$ 的对应点分别为 $M$ $(a ， b)$ ， $P$ $(p ， q)$ ，则 $b - q$ 的值为．

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16. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 6 x - 5$ 的顶点为 $P$ ，对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $N$ 是 $P A$ 的中点． $M$ $(m ， n)$ 在抛物线上， $M$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $B$ ， $M$ 关于点 $N$ 的对称点为 $C$ ．当 $1 \leq m \leq 3$ 时，线段 $B C$ 的长随 $m$ 的增大而发生的变化是：．（“变化”是指增减情况及相应 $m$ 的取值范围）

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 2 x - 5 = 0$

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，过点 $O$ 作 $O D // B C$ 交 $A C$ 于 $D$ ， $∠ O D A = 45 °$ ．
求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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19. 先化简，再求值： $\frac{2 x + 1}{x} \div (1 - \frac{1 + x - 4 x^{2}}{x})$ ，其中 $x = \sqrt{2} + \frac{1}{2}$ ．

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20. 2018年某贫困村人均纯收入为3000元，对该村实施精准扶贫后，2020年该村人均纯收入达到5070元，顺利实现脱贫．这两年该村人均纯收入的年平均增长率是多少？

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21. 某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为 $15 W$ 的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了 $30 W$ 的节能灯．每盒中混入 $30 W$ 的节能灯数如表：

每盒中混入 $30 W$ 的节能灯数

0

1

2

3

4

盒数

14

25

9

1

1

(1)、平均每盒混入几个 $30 W$ 的节能灯？

(2)、从这50盒中任意抽取一盒，记事件 $A$ 为：该盒中没有混入 $30 W$ 的节能灯，求事件 $A$ 的概率．

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22. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，其中 $B D > A C$ ．把 $△ A O D$ 绕点 $O$ 顺时针旋转得到 $△ E O F$ （点 $A$ 的对应点为 $E$ ），旋转角为 $α$ （ $α$ 为锐角）．连接 $D F$ ，若 $E F ⊥ O D$ ．

(1)、求证： $∠ E F D = ∠ C D F$ ；

(2)、当 $α = 60 °$ 时，判断点 $F$ 与直线 $B C$ 的位置关系，并说明理由．

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23. 已知抛物线 $y = (x - 2) (x - b)$ ，其中 $b > 2$ ，该抛物线与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

(1)、若点 $(\frac{1}{2} b ， 0)$ 在该抛物线上，求 $b$ 的值；

(2)、过点 $A$ 作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，记抛物线在直线 $l$ 与 $x$ 轴之间的部分（含端点）为图象 $L$ ．点 $M$ ， $N$ 在直线 $l$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在图象 $L$ 上，且 $P$ 在抛物线对称轴的左侧．设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，是否存在以 $M$ ， $P$ ， $Q$ ， $N$ 为顶点的四边形是边长为 $\frac{1}{2} m + 1$ 的正方形？若存在，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为

100 m

（如图所示）．由于潮汐变化，该海湾涨潮

5 h

后达到最高潮位，此最高潮位维持

1 h

，之后开始退潮．如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮．

该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间 $t$ 变化的情况大致如表所示．（在涨潮的 $5 h$ 内，该变化关系近似于一次函数）

涨潮时间 $t$ （单位： $h$ ）	1	2	3	4	5	6
桥下水位上涨的高度（单位： $m$ ）	$\frac{4}{5}$	$\frac{8}{5}$	$\frac{12}{5}$	$\frac{16}{5}$	4	4

(1)、求桥下水位上涨的高度（单位：

m

）关于涨潮时间

t

（

0 \leq t \leq 6

，单位：

h

）的函数解析式；

(2)、某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表所示：

涨潮时间 $t$ （单位： $h$ ）	$\frac{5}{4}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{15}{4}$
桥下水面宽（单位： $m$ ）	$20 \sqrt{24}$	$20 \sqrt{23}$	$20 \sqrt{22}$

现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高 $15 m$ ，宽 $20 m$ ，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由．

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25. 在 $△ A B C$ 中，∠B=90°，D是 $△ A B C$ 外接圆上的一点，且点D是∠B所对的弧的中点．

(1)、尺规作图：在图中作出点 $D$ ；（要求不写作法，保留作图痕迹）

(2)、如图，连接 $B D$ ， $C D$ ，过点 $B$ 的直线交边 $A C$ 于点 $M$ ，交该外接圆于点 $E$ ，交 $C D$ 的延长线于点 $P$ ， $B A$ ， $D E$ 的延长线交于点 $Q$ ， $D P = D Q$ ．

①若 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{B C}$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，求 $B E$ 的长；

②若 $D P = \frac{\sqrt{2}}{2} (A B + B C)$ ，求 $∠ P D Q$ 的度数

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每盒中混入 $30 W$ 的节能灯数	0	1	2	3	4
盒数	14	25	9	1	1