北京市通州区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} - 1$ 的顶点坐标是（　　）

A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(1, - 1)$ D、 $(- 1, - 1)$

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2. 如图， $P A$ 为⊙ $O$ 切线，连接 $O P$ ， $O A$ ．若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ P O A$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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3. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 是反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 图象上的一点，则 $R t △ O A B$ 的面积为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4. 已知一个扇形的弧长为 $π$ ，半径是3，则这个扇形的面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $3 π$

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5. 水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（）

A、0.8 m B、1.2 m C、1.6 m D、1.8 m

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6. 古希腊人认为，最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105 cm，则此人身高大约为（）

A、160 cm B、170 cm C、180 cm D、190 cm

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7. 已知抛物线的对称轴为 $x = h$ ，且经过点 $A (1, 1)$ ， $B (8, 8)$ ．则下列说法中正确的是（）

A、若h＝7，则a＞0 B、若h＝5，则a＞0 C、若h＝4，则a＜0 D、若h＝6，则a＜0

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8. 公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正 $n$ 边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（）

A、 $n \cdot \sin \frac{360 °}{2 n}$ B、 $2 n \cdot \sin \frac{360 °}{n}$ C、 $2 n \cdot \sin \frac{360 °}{2 n}$ D、 $n \cdot \sin \frac{360 °}{n}$

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二、填空题

9. $\cos 60^{°} + \tan 45^{°} =$ ．

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10. 请写出一个开口向下且经过原点的抛物线解析式．

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11. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 为⊙ $O$ 上的点．若 $∠ A O B = 100 °$ ，则 $∠ A C B =$ ．

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12. 如图，输电塔高 $41.7 m$ ．在远离高压输电塔 $100 m$ 的 $D$ 处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为 $θ$ ．已知测角仪高 $A D = 1.7 m$ ，则 $\tan θ =$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E / / B C$ ，且DE分别交AB，AC于点D，E，若 $A D ： D B = 2 ： 1$ ，则 $△ A D E$ 与四边形 $D E C B$ 的面积之比等于．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (10 ， 0)$ ， $O B = 2 \sqrt{5}$ ， $∠ B = 90 °$ ，则点 $B$ 坐标为．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (a, 2)$ 为双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 上一点．将点 $A$ 向左平移3个单位后，该点恰好出现在双曲线 $y = - \frac{k}{x}$ 上，则 $k$ 的值为．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (6 ， 0)$ ，⊙ $A$ 的半径为3，点 $P (x ， y)$ 为⊙ $A$ 上任意一点．则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 如图， $A D$ 与 $B C$ 交于 $O$ 点， $∠ B = ∠ D$ ， $A O = 4$ ， $C O = 2$ ， $C D = 3$ ，求 $A B$ 的长．

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18. 二次函数

y = a x^{2} + b x + 3

图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x	…	$- 1$	$0$	…	$3$	$4$	…
y	…	$0$	$3$	…	$0$	$- 5$	…

(1)、该二次函数的对称轴为；

(2)、求出二次函数的表达式．

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19. 下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．

求作：过点P的⊙O的切线．

作法：如图，

①作射线OP；

②以点P为圆心，PO为半径作⊙P，与射线OP交于另一点B；

③分别以点O，点B为圆心，大于PO长为半径作弧，两弧交射线OP上方于点D；

④作直线PD；

则直线PD即为所求．

根据小付设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明：
证明：∵ $P O = P B$ ， $D O = D B$ ，

∴ $P D ⊥ O B$ （）（填推理的依据）．

又∵ OP是⊙O的半径，

∴ PD是⊙O的切线（）（填推理的依据）．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 交于点 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (1 ， a)$ ．

(1)、求出反比例函数表达式及 $a$ 的值；

(2)、根据函数图象，直接写出不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集．

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ．以 $A B$ 为直径作⊙ $O$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ．作 $∠ A C B$ 平分线，交 $B D$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $B E = B F$ ．

(2)、若 $A B = 6$ ， $∠ A = 30 °$ ，求 $D F$ 的长．

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22. 有这样一个问题：探究函数

y = x^{2} - \frac{1}{x} - 4

的图象与性质．

嘉瑶根据学习函数的经验，对函数 $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 4$ 的图象与性质进行了探究．

下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：

(1)、函数

y = x^{2} - \frac{1}{x} - 4

的图象与y轴交点；（填写“有”或“无”）

(2)、下表是y与x的几组对应值：

x	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$\frac{5}{2}$	…
y	…	$\frac{16}{3}$	$\frac{1}{2}$	$- 2$	$- \frac{7}{4}$	n	$- \frac{29}{12}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{37}{20}$	…

则n的值为；

(3)、如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；

(4)、请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程

x^{2} - \frac{1}{x} = 4

的根约为．（结果精确到0.1）

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23. 如图，将正方形 $A B C D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $θ (0 ° < θ < 90 °)$ ，得到正方形 $B E F G$ ．连接 $A G$ ，与正方形交于点 $H$ ， $K$ ，连接 $E C$ ， $D F$ ．

(1)、求 $∠ B A G$ 的值（用 $θ$ 表示）；

(2)、求证： $A G / / E C$ ；

(3)、写出线段 $A G$ ， $E C$ ， $D F$ 之间的数量关系，并证明．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线对称轴；

(2)、求点 $C$ 纵坐标（用含有 $a$ 的代数式表示）；

(3)、已知点 $P (5 ， - 4)$ ．将点 $C$ 向下移动一个单位，得到点 $D$ ．若抛物线与线段 $P D$ 只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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25. 点 $P$ 为平面直角坐标系 $x O y$ 中一点，点 $Q$ 为图形 $M$ 上一点．我们将线段 $P Q$ 长度的最大值与最小值之间的差定义为点 $P$ 视角下图形 $M$ 的“宽度”．

(1)、如图，⊙ $O$ 半径为2，与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，点 $P (2 ， 3)$ ．
①在点 $P$ 视角下，⊙ $O$ 的“宽度”为，线段 $A B$ 的“宽度”为；

②点 $M (m ， 0)$ 为 $x$ 轴上一点．若在点 $P$ 视角下，线段 $A M$ 的“宽度”为 $2$ ，求 $m$ 的取值范围：；

(2)、⊙ $C$ 的圆心在x轴上，半径为 $r (r > 0)$ ，直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ 与x轴，y轴分别交于点 $D$ ， $E$ ．若线段 $D E$ 上存在点 $K$ ，使得在点 $K$ 视角下，⊙ $C$ 的“宽度”可以为 $2$ ，求圆心 $C$ 的横坐标 $x_{C}$ 的取值范围．

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