北京市房山区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. sin30°的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ ∥ $B C$ ，若 $A D = 2$ ， $A B = 3$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 如图， $O A$ ， $O B$ 是⊙ $O$ 的半径，若 $∠ A O B = 50 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $50 °$ C、 $75 °$ D、 $100 °$

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5. 在半径为 $2$ 的圆中， $90 °$ 的圆心角所对的弧长为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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6. 若点 $A (x_{1} ， - 1)$ ， $B (x_{2} ， 2)$ ， $C (x_{3} ， 3)$ 都在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，则 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ C、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ D、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A = 30 °$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ 或4 D、2或4

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过 $A (0 ， 1)$ ， $B (2 ， - 1)$ ， $C (4 ， 5)$ 三点，下面四个结论中正确的是（）

A、抛物线开口向下 B、当 $x = 2$ 时， $y$ 取最小值 $- 1$ C、当 $m > - 1$ 时，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 必有两个不相等实根 D、直线 $y = k x + c (k \neq 0)$ 经过点 $A$ ， $C$ ，当 $k x + c < a x^{2} + b x + c$ 时， $x$ 的取值范围是 $0 < x < 4$

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二、填空题

9. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{x + y}{x} =$ ．

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10. 请写出一个过点 $(1, 1)$ 的函数表达式：．

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11. 已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是.

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12. 函数 $y = x^{2}$ 的图象向下平移3个单位，得到函数图象的表达式是．

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13. 如图，点 $D$ ， $E$ 分别在△ $A B C$ 的 $A B$ ， $A C$ 边上．只需添加一个条件即可证明△ $A D E$ ∽△ $A C B$ ，这个条件可以是．（写出一个即可）

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14. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点H ，若 $A B = 10$ ， $C D = 8$ ，则OH的长度为．

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15. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格， $A$ ， $B$ ， $C$ 是网格线交点，则 $\cos ∠ A B C =$ ．

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16. 我们将满足等式 $x^{2} + y^{2} = 1 + | x | y$ 的每组 $x$ ， $y$ 的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面四个结论中：
①“心形”图形是轴对称图形；

②“心形”图形所围成的面积小于3；

③“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$ ；

④“心形”图形恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．

所有正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 如图，已知 $A B$ ∥ $C D$ ， $\frac{A B}{D C} = \frac{A D}{D E}$ ．求证： $∠ B = ∠ C$ ．

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18. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、求它的图象的顶点坐标和对称轴；

(2)、画出它的图象，并结合图象，当 $x > 0$ 时，求 $y$ 的取值范围．

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19. 已知：线段 $a ， c$ ．

求作： $Rt △ A B C$ ，使其斜边 $A B = c$ ，一条直角边 $B C = a$ ．

作法：①作线段 $A B = c$ ；

②分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $D$ ， $E$ 两点，作直线 $D E$ 交 $A B$ 于点 $O$ ；

③以 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径作⊙ $O$ ；

④以点 $B$ 为圆心，线段 $a$ 的长为半径作弧交⊙ $O$ 于点 $C$ ，连接 $C A ， C B$ ． $△ A B C$ 就是所求作的直角三角形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵点 $O$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，

∴点 $O$ 为线段 $A B$ 的中点， $O A$ 为⊙ $O$ 的半径．

∴ $A B$ 为⊙ $O$ 的直径．

∵点 $C$ 在⊙ $O$ 上，

∴ $∠ A C B =$ $°$ （）（填推理的依据）．

∴ $△ A B C$ 为直角三角形．

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20. 在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥 $A B$ 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 $A B$ 的上方 $90m$ 的点 $C$ 处悬停，此时测得桥两端 $A$ ， $B$ 两点的俯角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，求桥 $A B$ 的长度．（结果精确到 $1m$ ．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + 2$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $B (- 2 ， 0)$ ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (1 ， a)$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、点 $C$ 为 $x$ 轴上一动点．若 $△ A B C$ 的面积是 $6$ ，请直接写出点 $C$ 的坐标．

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22. 如图， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径，⊙ $O$ 过 $A C$ 的中点 $D$ ， $D E ⊥ B C$ ，垂足为点 $E$ ．

(1)、求证： $D E$ 与⊙ $O$ 相切；

(2)、若 $\tan A = \frac{3}{4}$ ， $B C =5$ ．求 $D E$ 的长．

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23. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 经过点 $A (4, 4)$ ．

(1)、当抛物线与 $x$ 轴交于点 $B (2, 0)$ 时，求抛物线的表达式；

(2)、设抛物线与 $x$ 轴两交点之间的距离为 $d$ ．当 $d > 2$ 时，求 $a$ 的取值范围．

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24. 如图，已知 $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的一条对角线，点 $E$ 在 $B A$ 的延长线上，且 $A E = A D$ ．连接 $E C$ ，与 $A D$ 相交于点 $F$ ，与 $B D$ 相交于点 $G$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、若 $A F = A B$ ，解答下列问题：
①判断 $E C$ 与 $B D$ 的位置关系，并说明理由；

②连接 $A G$ ，用等式表示线段 $A G$ ， $E G$ ， $D G$ 之间的数量关系，并证明．

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25. 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 为图形 $M$ 上一点，点 $Q$ 为图形 $N$ 上一点．若存在 $O P = O Q$ ，则称图形 $M$ 与图形 $N$ 关于原点 $O$ “平衡”．

(1)、如图，已知⊙ $A$ 是以 $(1 ， 0)$ 为圆心， $2$ 为半径的圆，点 $C (- 1 ， 0)$ ， $D (- 2 ， 1)$ ， $E (3 ， 2)$ ．

①在点 $C$ ， $D$ ， $E$ 中，与⊙ $A$ 关于原点 $O$ “平衡”的点是；

②点 $H$ 为直线 $y = - x$ 上一点，若点 $H$ 与⊙ $A$ 关于原点 $O$ “平衡”，点 $H$ 的横坐标的取值范围为：；

(2)、如图，已知图形 $G$ 是以原点 $O$ 为中心，边长为 $2$ 的正方形．⊙ $K$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为 $2$ ．若⊙ $K$ 与图形 $G$ 关于原点 $O$ “平衡”，请直接写出圆心 $K$ 的横坐标的取值范围．

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