北京市昌平区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（）

A、PA B、PB C、PC D、PD

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2. 如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$ B、 $\frac{x}{3} = \frac{4}{y}$ C、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$ D、 $\frac{x}{4} = \frac{y}{3}$

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3. 抛物线 $y = {(x - 3)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）．

A、 $(3, - 1)$ B、 $(- 3, - 1)$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(3, 1)$

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4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（）

A、36° B、44° C、54° D、56°

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5. 已知二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ ，若点A $(0 ， y_{1})$ 和B $(3 ， y_{2})$ 在此函数图象上，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、无法确定

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6. 小英家在学校的北偏东40度的位置上，那么学校在小英家的方向是（）

A、南偏东40度 B、南偏西40度 C、北偏东50度 D、北偏西50度

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7. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）

A、（0， $1 + \sqrt{2}$ ） B、（1， $1 + \sqrt{2}$ ） C、（2，2） D、（2，4）

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二、填空题

9. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-2）的抛物线的表达式．

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10. 点 $A (2, y_{1})$ ， $B (3, y_{2})$ 是反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 图象上的两点，那么 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系是 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“＞”，“＜”或“＝”）

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11. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为．

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12. 如图，平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝ $\frac{1}{2}$ AD，连接BE，交CD于点F，若△DEF的面积为2，则△CBF的面积为．

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13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E， CD＝16，BE＝4，则CE＝， ⊙O的半径为．

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14. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝°，∠DEF＝°．

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15. 二次函数y＝ax²＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	…	m	…
y	…	0	4	6	6	4	…	﹣6	…

则这个二次函数的对称轴为直线x＝， m＝（m＞0）．

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16. 抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m$ 交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a＋b＝4；④抛物线上有两点P（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ）和Q（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ），若 $x_{1}$ ＜ $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ ＋ $x_{2}$ ＞2，则 $y_{1}$ ＞ $y_{2}$ ．其中结论正确的序号是．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{3} \tan 60 ° + \cos^{2} 45 ° - \sin 30 °$ ．

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18. 如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．

(1)、求证：△ABC∽△ACD；

(2)、若AB＝2，AC＝3，求AD的长．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；

(2)、结合函数图象，直接写出 $y < 0$ 时x的取值范围．

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20. 下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．

求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．

作法：如图，

①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；

②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；

③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；

④作直线PA和直线PB．

所以直线PA和PB就是所求作的直线．

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明：连接PE和PF，

∵OE＝MN，OA＝OM＝ $\frac{1}{2}$ MN，

∴点A是OE的中点．

∵PO＝PE，

∴PA⊥OA于点A （）（填推理的依据）．

同理PB⊥OB于点B．

∵OA，OB为⊙O的半径，

∴PA，PB是⊙O的切线．（）（填推理的依据）．

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21. 某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心公园的仿古建筑“弘文阁”AB的高度．他们先在点C处用高1.5米的测角仪CE测得“弘文阁”顶A的仰角为30°，然后向“弘文阁”的方向前进18m到达D处，在点D处测得“弘文阁”顶A的仰角为50°．求“弘文阁”AB的高（结果精确到0.1m，参考数据：，tan50°≈1.19，tan40°≈0.84， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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22. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，AD平分∠BAC，过点D作AC的垂线，垂足为点E．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、延长AB交ED的延长线于点F，若⊙O半径的长为3，tan∠AFE＝ $\frac{3}{4}$ ，求CE的长．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $y$ 轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

(1)、①写出抛物线的对称轴；②用含a的代数式表示b；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与 $x$ 轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．

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24. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上的动点（BD＞CD），作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，作直线CE，交射线AD于点F．连接AE，BF．

(1)、依题意补全图形，直接写出∠AFE的度数；

(2)、用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给出如下定义：若点 $P$ 在图形 $M$ 上，点 $Q$ 在图形 $N$ 上，如果 $P Q$ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $M ， N$ 的“近距离”，记为 $d (M ， N)$ ．特别地，当图形 $M$ 与图形 $N$ 有公共点时， $d (M ， N) = 0$ ．
已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），

(1)、d（点A，点C）＝， d（点A，线段BD）＝；

(2)、⊙O半径为r，
① 当r ＝1时，求 ⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；

② 若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r等于多少．

(3)、M 为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围．

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