安徽省淮北市五校联考2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果 $\frac{a - b}{a} = \frac{3}{5}$ ，那么 $\frac{b}{a}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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3. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若反比例函数 $y = \frac{1 - m}{x}$ 的图像在第一、第三象限，则 $m$ 可能取的一个值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 抛物线y＝x²﹣9的顶点坐标是（）

A、（0，﹣9） B、（﹣3，0） C、（﹣9，0） D、（3，0）

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6. 如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（）

A、4 $\sqrt{3}$ 米 B、6 $\sqrt{3}$ 米 C、6 $\sqrt{5}$ 米 D、24米

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7. 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC ．若△ADC的面积为a ，则△ABC的面积为（）

A、6a B、4a C、 $\frac{7}{2} a$ D、 $\frac{5}{2} a$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，O是 $B C$ 边上的点，以点O为圆心， $B O$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点 $A ， D$ 是优弧 $A B$ 上一点， $∠ A D B = 65 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $65 °$ D、 $45 °$

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9. 如图，一块含有 $30 °$ 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 $O$ 重合， $30 °$ 角的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，顶点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 8$ B、8 C、 $- 12$ D、12

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10. 如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、10 C、7.2 D、 $6 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 已知2是 $x$ 和4的比例中项，则 $x =$ ．

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12. 图①中特种自行车的轮子形状为“勒络三角形”，图②是其一个轮子的示意图，“勒络三角形”是分别以等边三角形 $A B C$ 三个顶点 $A ， B ， C$ 为圆心，以边长为半径的三段弧围成的图形、若这个等边三角形 $A B C$ 的边长为 $30 c m ，$ 则这种自行车一个轮子的周长为 $c m$ ．

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13. 如图，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图像上一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ y$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ ， $D$ 在 $x$ 轴上，且 $B C // A D$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为4，则k= ．

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14. 如图， $∠ M O N = 90 °$ ，直角三角形 $A B C$ 斜边的端点 $A$ ， $B$ 分别在射线 $O M$ ， $O N$ 上滑动， $B C = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，连接 $O C$ ．当 $A B$ 平分 $O C$ 时， $O C$ 的长为．

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三、解答题

15. 计算： $8 \sin^{2} 60 ° + \tan 45 ° - 4 \cos 30 °$ ．

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16. 二次函数图象的顶点坐标是（-2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．

(1)、画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A₁BC₁ ．

(2)、以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A₂B₂C₂ ，并写出A₂点的坐标

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18. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ．

(1)、求 $\sin ∠ A B C$ ；

(2)、求CD的长．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，－1），DE＝3．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式．

(2)、根据图象写出不等式kx＋b> $\frac{m}{x}$ 的解集．

(3)、连接OC、OD，求 $Δ C O D$ 的面积．

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20. 如图，某数学活动小组为测量一棵大树 $B H$ 和教学楼 $C G$ 的高，测角仪高 $A F = 1 m$ ，先在 $A$ 处测得大树顶端 $H$ 的仰角 $∠ H F E$ 为 $45 °$ ，此时教学楼顶端 $G$ 恰好在视线 $F H$ 上，再向前走 $10 m$ 到达 $B$ 处 $(A B = 10 m)$ ，又测得教学楼顶端 $G$ 的仰角 $∠ G E D$ 为 $60 °$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在同一水平线上．

(1)、求大树 $B H$ 的高；

(2)、求教学楼 $C G$ 的高（结果保留根号）．

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21. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ D C$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $∠ D A B$ 的角平分线；

(2)、若 $A D = 3$ ， $A B = 5$ ，求 $A C$ 的长．

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22. 某酒店试销售某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为7元，该店每天固定支出费用为200元（不含套餐成本）.若每份售价不超过10元，每天可销售300份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少30份，设该店每份套餐的售价为 $x$ 元（ $x$ 为正整数），每天的销售量为 $y$ 份，每天的利润为 $w$ 元．

(1)、直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、求出 $w$ 与 $x$ 的函数关系式；并求出利润 $w$ 的最大值．

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23. 如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是射线 $B C$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $B$ 重合），连接 $A P$ ， $D P$ ，点 $E$ 是线段 $A P$ 上一点，且 $∠ A D E = ∠ A P D$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $\frac{A D}{A P} = \frac{A E}{A D}$ ；

(2)、求证： $B E ⊥ A P$ ；

(3)、求 $\frac{D P}{A P}$ 的最小值．

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