人教A版必修4 第二章平面向量单元测试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (3, 5)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(- 8, - 9)$ B、 $(- 4, - 9)$ C、 $(- 5, - 6)$ D、 $(8, 11)$

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2. 设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 $\vec{A O} + \vec{O B} = \vec{D O} + \vec{O C}$ ，则四边形ABCD是（）

A、空间四边形 B、平行四边形 C、等腰梯形 D、矩形

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3. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量， $\vec{O A} = λ \vec{a} + μ \vec{b}, \vec{O B} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 若 $A, B, C$ 三点共线，则实数 $λ, μ$ 满足（）

A、 $λ = μ - 1$ B、 $λ = μ + 5$ C、 $λ = 5 - μ$ D、 $λ = μ + 1$

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4. 在平面直角坐标系中，以 $O (0, 0)$ ， $A (1, 1)$ ， $B (3, 0)$ 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(4, 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(2, - 1)$

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5. 下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为相反向量，则 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} = \vec{0}$ C、零向量是没有方向的向量 D、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (t, 3), \vec{b} = (2, - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、3 D、-3

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7. 若平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1 ， | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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8. 设 $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，满足 $2 \vec{O A} + 7 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ B O C$ 的面积的比值为（）

A、6 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{12}{7}$ D、4

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二、多选题

9. 对于任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ D、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

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10. 已知向量 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 所成的角为 $θ$ ，则（）

A、 $| \vec{b} | = 2$ B、 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、 $θ = 60^{°}$

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11. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 5$ C、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、向量 $\vec{a}$ 的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$

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12. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D$ 是边 $A C$ 上的点，且 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ，那么（）

A、 $\vec{O E} + \vec{O C} = \vec{0}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{C E} = - 1$ C、 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $| \vec{D E} | = \frac{\sqrt{13}}{2}$

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三、填空题

13. 若 $\vec{a} = (1, 2)$ 与 $\vec{b} = (2, m)$ 平行，则实数m=.

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14. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ ．

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15. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影是 $- 1$ ，且满足 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ .

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ .已知 $A C = B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A D ⊥ B D$ ，且 $O$ 是 $A C$ 的中点，若 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} - \vec{C D} \cdot \vec{C B} = 2$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为.

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四、解答题

17. 在直角坐标系中，O为坐标原点， $\overset{⇀}{O A} = (3, 1)$ ， $\overset{⇀}{O B} = (2, - 1)$ ， $\overset{⇀}{O C} = (a, b)$ .

(1)、若A，B，C三点共线，求a，b的关系；

(2)、若 $\overset{⇀}{A C} = - 3 \overset{⇀}{A B}$ ，求点C的坐标.

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18. 已知平面向量 $\vec{a} = (3, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, - m)$ 且 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{c} = (2, 1)$ 共线.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数 $λ$ 的值.

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19. 已知平面内两个不共线的向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 2, 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = \frac{π}{3}, | \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2$ .

(1)、求 $| \vec{b} |$ ；

(2)、求 $(\vec{a} - 2 \vec{b})$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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20. 已知向量 $\vec{a} = (\sin x, \frac{3}{4}), \vec{b} = (\cos x, - 1)$ ，设函数 $f (x) = 2 (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ .

(1)、当 $\vec{a} // \vec{b}$ 时，求 $\cos^{2} x - \sin 2 x$ 的值；

(2)、求使 $f (x) \geq \frac{5}{2}$ 的 $x$ 的取值构成的集合.

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21. 已知向量 $\vec{a} = (\cos x ， \cos x + \sin x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \sin x ， \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及单调递增区间；

(2)、若 $α$ 为锐角，且 $f (α) = \frac{1}{3}$ ，求 $\cos 2 α$ 的值.

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22. 已知 $\vec{m}$ =(bsinx，acosx)， $\vec{n}$ =(cosx，﹣cosx)， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + a$ ，其中a，b，x $\in$ R.且满足 $f (\frac{π}{6}) = 2$ ， $f^{'} (0) = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求a和b的值；

(2)、若关于x的方程 $f (x) + \log_{3} k = 0$ 在区间[0， $\frac{2 π}{3}$ ]上总有实数解，求实数k的取值范围.

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四、解答题

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