吉林省长春市宽城区2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若分式 $\frac{x}{2 x - 3}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A、x> $\frac{3}{2}$ B、x< $\frac{3}{2}$ C、x= $\frac{3}{2}$ D、x≠ $\frac{3}{2}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{8}$ B、 ${(2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ C、 ${(a b)}^{6} \div {(a b)}^{2} = a^{3} b^{3}$ D、 $(a + b) (a - b) = a^{2} + b^{2}$

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3. 某人将一枚质量分布均匀的硬币连续抛50次，落地后正面朝上30次，反面朝上20次，下列说法正确的是（）

A、出现正面的频率是30 B、出现正面的频率是20 C、出现正面的频率是0.6 D、出现正面的频率是0.4

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4. 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（）

A、三角形中有一个内角小于或等于60° B、三角形中有两个内角小于或等于60° C、三角形中有三个内角小于或等于60° D、三角形中没有一个内角小于或等于60°

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5. 如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（）

A、50° B、65° C、70° D、80°

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6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连结AD．若CD＝2，BD＝4，则AC的长为（）

A、4 B、3 C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 如图，在△ $A B C$ 中， $A C > B C$ ， $∠ A C B$ 为钝角．按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交BC于点D，交AB于点E；②以点 $C$ 为圆心， $B D$ 长为半径作圆弧，交 $A C$ 于点 $F$ ；③以点 $F$ 为圆心， $D E$ 长为半径作圆弧，交②中所作的圆弧于点 $G$ ；④作射线 $C G$ 交 $A B$ 于点 $H$ ．下列说法错误的是（）

A、 $∠ A C H$ = $∠ B$ B、 $∠ A H C$ =∠ACB C、∠CHB=∠A+∠B D、 $∠ B H C$ =∠HCB

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8. 如图，∠EOF的顶点O是等边△ABC三条中线的交点，∠EOF的两边与△ABC的边交于E、F两点．若AB＝4，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）

A、4 B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

9. 计算： $\frac{2 a^{2}}{b^{3}} \div \frac{5 a}{b^{2}}$ = ．

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10. 分解因式： $4 x^{3} - 4 x^{2} + x$ = ．

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11. 命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）

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12. 如图，AB与CD相交于点O，OC＝OD．若要得到△AOC≌△BOD，则应添加的条件是．（写出一种情况即可）

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13. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠A =36°，则∠BDC的度数为．

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14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D在斜边AB上，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，∠DCE=90°，连结BE．若AD=5，DB=12，则DE的长为．

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三、解答题

15. 计算： ${(x + 3)}^{2} - 4 x (x - 1) + (x + 2) (x - 2)$ .

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16. 计算： $\frac{y}{x} + \frac{1}{x + y} \cdot (x - \frac{y^{2}}{x})$ ．

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17. 如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．

(1)、AB的长为， AC的长为， △ABC是三角形（按角的分类填）．

(2)、在正方形网格中，画出所有与△ABC全等的△DBC．

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18. 如图，点C ， E ， F ， B在同一直线上，点A ， D在BC异侧，AB∥CD ， AE＝DF ， ∠A＝∠D ．

(1)、求证：AB=CD；

(2)、若AB＝CF ， ∠B＝40°，求∠D的度数．

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19. 2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”，为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求这次调查活动共抽取的人数．

(2)、直接写出m= ， n= ．

(3)、请将条形统计图补充完整．

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20. 观察下列等式：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ．

将以上三个等式的两边分别相加，得：

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6}$ ．

(1)、直接写出计算结果： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6}$ ＝．

(2)、计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n + 1)}$ ．

(3)、猜想并直接写出： $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) \times (2 n + 1)}$ ＝．（n为正整数）

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21. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C ，$ 河边原有两个取水点 $A ，$ $B ，$ 其中 $A B = A C ，$ 由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H （ A 、 H 、 B$ 在同一条直线上），并新修一条路 $C H ，$ 测得 $C B = 1.5$ 千米， $C H = 1.2$ 千米， $H B = 0.9$ 千米.

(1)、问 $C H$ 是否为从村庄 $C$ 到河边的最近路.请通过计算加以说明；

(2)、求新路 $C H$ 比原路 $C A$ 少多少千米.

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22. 如图，在△ABC中：

(1)、下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是（将序号按正确的顺序写在横线上）.
①分别以点 M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；

②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N；

③画射线BP，交AC于点D．

(2)、连结MP、NP，通过证明△BMP≌△BNP，得到∠ABD=∠CBD，从而得到BD是∠ABC的平分线，其中证明△BMP≌△BNP的依据是（填序号）
①SAS． ②ASA． ③AAS． ④SSS．

(3)、若AB=16，BC=14， $S_{Δ A B C} = 75$ ，过点D作DE⊥AB于E，求DE的长．

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23. 仔细阅读下面例题，解答问题．
（例题）已知： $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求m、n的值．

解：∵ $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，∴ $(m^{2} - 2 m n + n^{2}) + (n^{2} - 8 n + 16) = 0$ ，

∴ ${(m - n)}^{2} + {(n - 4)}^{2} = 0$ ，∴ $m - n = 0$ ， $n - 4 = 0$ ，∴ $m = 4$ ， $n = 4$ ．

∴m的值为4，n的值为4．

（问题）仿照以上方法解答下面问题：

(1)、已知 $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} - 6 y + 9 = 0$ ，求x、y的值．

(2)、在Rt△ABC中， $∠ C = 90 °$ ，三边长a、b、c都是正整数，且满足 $a^{2} + b^{2} - 12 a - 16 b + 100 = 0$ ，求斜边长c的值．

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24. 如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连结DE．动点P从点B出发，沿着BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，点P运动的时间为t秒．

(1)、DE的长为．

(2)、连结AP，求当t为何值时，△ABP≌△DCE．

(3)、连结DP．①求当t为何值时，△PDE是直角三角形．②直接写出当t为何值时，△PDE是等腰三角形．

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