北京市门头沟区22020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 9的平方根是( )

A、3　 B、±3　　 C、 $\sqrt{3}$ 　　 D、± $\sqrt{3}$

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2. 如图，在△ABC中，AC边上的高线是（）

A、线段DA B、线段BA C、线段BC D、线段BD

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3. 如果二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（）

A、 $x \neq - 3$ B、 $x^{} \leq - 3$ C、 $x^{} \geq - 3$ D、 $x > - 3$

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4. 下列事件中，属于不确定事件的是（）

A、科学实验，前10次实验都失败了，第11次实验会成功 B、投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点 C、太阳从西边升起来了 D、用长度分别是3 cm，4 cm，5 cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形

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5. 下列垃圾分类的标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（）

A、10cm B、15cm C、20cm D、25cm

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7. 下列命题的逆命题是假命题的是（）

A、直角三角形两锐角互余 B、全等三角形对应角相等 C、两直线平行，同位角相等 D、角平分线上的点到角两边的距离相等

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8. 如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 3的倒数是．

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10. 若分式 $\frac{x - 3}{x + 1}$ 的值为0，则x＝．

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11. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的可能性为．

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12. 写出一个大于3的无理数：．

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13. 对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为： $a ☆ b = \sqrt{a + b}$ ．如 $3 ☆ 2 = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5}$ ，根据定义可得 $4 ☆ 8 =$ ．

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14. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，如果在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，那么CE的长为．

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15. 学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确：，你的理由是．

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16. 下图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：

其中，图中（①）“通分”的依据是，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{8} - \sqrt{2}$ ；

(2)、 $\sqrt[3]{8} + | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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18. 计算：

(1)、 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ ；

(2)、 $\frac{2 y}{3 x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6 y^{3}}$ ．

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19. 解方程： $\frac{3}{x - 1} = 2 - \frac{2 x}{x + 1}$

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20. 已知： $x^{2} + 3 x = 1$ ，求代数式 $\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 2} - \frac{x - 2}{x + 1}$ 的值.

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21. 阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算 $\frac{6}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a + 3}$ 解答过程如下：

解： $\frac{6}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a + 3}$

$= \frac{6}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{1}{a + 3}$ ①

$= \frac{6}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{a - 3}{(a + 3) (a - 3)}$ ②

$= 6 + a - 3$ ③

$= a + 3$ ④

问题：

(1)、上述计算过程中，从步开始出现错误（填序号）；

(2)、发生错误的原因是：；

(3)、在下面的空白处，写出正确解答过程：

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22. 已知：如图，AB ＝ AD．请添加一个条件使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．

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23. 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l及直线l外一点P ．

求作：直线l的垂线，使它经过点P ．

作法：如图2，

① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；

② 连接PA和PB；

③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．

④ 作直线PQ ．

∴ 直线PQ就是所求的直线．

根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：

(1)、使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；

(2)、补全下面证明过程：
证明：∵PQ平分∠APB，

∴∠APQ=∠QPB．

又∵PA= ， PQ=PQ，

∴△APQ≌△BPQ（）（填推理依据）．

∴∠PQA=∠PQB（）（填推理依据）．

又∵∠PQA＋∠PQB＝180°，

∴∠PQA=∠PQB＝90°．

∴PQ⊥l．

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24. 如图，△ABC中，AB＝4 $\sqrt{2}$ ，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．

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25. 列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．

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26. 如果实数a，b满足 $a - b = a b$ 的形式，那么a和b就是“智慧数”，用 $(a ， b)$ 表示．
如：由于 $2 - \frac{2}{3} = 2 \times \frac{2}{3}$ ，所以 $(2 ， \frac{2}{3})$ 是“智慧数”．

(1)、下列是“智慧数”的是（填序号）；
① $- 1.2$ 和 $6$ ，② $\frac{9}{2}$ 和 $- 3$ ，③ $- \frac{1}{2}$ 和 $- 1$ ．

(2)、如果 $(3 ， ☆)$ 是“智慧数”，那么“☆”的值为；

(3)、如果 $(x ， y)$ 是“智慧数”，
①y与x之间的关系式为 $y =$ ；

②当x＞0时，y的取值范围是；

③在②的条件下，y随x的增大而（填“增大”，“减小”或“不变”）．

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27. 阅读材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．

小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．

(1)、如图2，根据小明的想法，回答下面问题：
①△DEC和△DAC的关系是，判断的依据是；

②△BDE是三角形；

③BC的长为．

(2)、参考小明的想法，解决下面问题：
已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长．

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28. 已知：线段AB及过点A的直线l，如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连接CF．

(1)、根据题意将图1补全；

(2)、如图1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．
①求∠BAE与∠ABE（用含有α代数式表示）；

②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．

(3)、如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA，FE与FC的数量关系．

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