北京市丰台区2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若分式 $\frac{x - 2}{x + 1}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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2. 下面的四个图案分别是“ $T$ 型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图所示， $Δ A B C$ 的边 $A C$ 上的高是（）

A、线段 $A E$ B、线段 $B A$ C、线段 $B D$ D、线段 $D A$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2 \cdot} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{4} = a^{8}$ C、 $a^{- 2} = - a^{2}$ D、 $a^{3} \div a^{3} = a$

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5. 如图， $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $P C ⊥ O A$ 于点 $C$ ， $P D ⊥ O B$ 于点 $D$ ，延长 $C P$ ， $D P$ 交 $O B$ ， $O A$ 于点 $E$ ， $F$ ，下列结论错误的是（）

A、 $P C = P D$ B、 $O C = O D$ C、 $∠ C P O = ∠ D P O$ D、 $P C = P E$

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6. 等腰三角形的一边长是5，另一边长是10，则周长为（）

A、15 B、20 C、20或25 D、25

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7. 2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：

类别月份	$5$ 月	$12$ 月
厨余垃圾分出量（千克）	$660$	$8400$
其他三种垃圾的总量（千克）	$x$	$\frac{7}{10} x$

厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率 $=$ $\frac{厨余垃圾分出量}{生活垃圾总量} \times 100 %$ （生活垃圾总量 $=$ 厨余垃圾分出量 $+$ 其他三种垃圾的总量），且该小区 $12$ 月的厨余垃圾分出率约是 $5$ 月的厨余垃圾分出率的 $14$ 倍，那么下面列式正确的是（）

A、

\frac{660}{x} \times 14 = \frac{8400}{\frac{7}{10} x}

B、

\frac{660}{660 + x} \times 14 = \frac{8400}{8400 + \frac{7}{10} x}

C、

\frac{660}{660 + x} \times 14 = \frac{8400}{8400 + \frac{7}{10} x} \times 14

D、

\frac{660 + x}{660} \times 14 = \frac{8400 + \frac{7}{10} x}{8400}

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8. 设 $a ， b$ 是实数，定义一种新运算： $a * b = {(a - b)}^{2}$ ．下面有四个推断：
① $a * b = b * a$ ；

② ${(a * b)}^{2} = a^{2} * b^{2}$ ；

③ $(- a) * b = a * (- b)$ ；

④ $a * (b + c) = a * b + a * c$ ．

其中所有正确推断的序号是（）

A、①②③④ B、①③④ C、①② D、①③

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二、填空题

9. 若 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

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10. 分解因式： $2 n^{2} - 8 =$ ．

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11. 写出一个比 $2 \sqrt{2}$ 大且比 $\sqrt{17}$ 小的整数．

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12. 如图，将 $Δ A B C$ 沿 $B C$ 所在的直线平移得到 $Δ D E F$ ．如果 $G C = 2$ ， $D F = 4.5$ ，那么 $A G =$ ．

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13. 如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的符合题意等式．

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ． $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ．如果 $B D = 1$ ，那么 $A D =$

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15. 如果关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + b x + 4$ 是一个完全平方式，那么 $b =$ ．

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16. 右图是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为 $1$ ，点 $A ， B$ 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点 $C$ 也在此 $4 \times 4$ 的正方形网格的格点上，且 $Δ A B C$ 是等腰三角形，请写出一个满足条件的点 $C$ 的坐标；满足条件的点 $C$ 一共有个．

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三、解答题

17. 计算： ${(x - y)}^{2} - x (x - 2 y)$ ．

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18. 计算： $(1 - \frac{1}{m + 1}) \div \frac{m^{2}}{m + 1}$ ．

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19. 计算： $\sqrt{\frac{1}{4}} \times \sqrt{8} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} + | \sqrt{2} - 1 |$ ．

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20. 解分式方程： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{1}{x} + 1$ ．

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21. 如图， $A B = A D$ ， $A C = A E$ ， $∠ C A E = ∠ B A D$ ．求证： $∠ B = ∠ D$ ．

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22. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2}}{y} - y) \cdot \frac{3}{x + y}$ 其中 $3 x - 4 y = 0$ ．

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23. 下面是小明设计的“作一个含 $30 °$ 角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图，直线 $l$ 及直线 $l$ 上一点 $A$ ．

求作： $Δ A B C$ ，使得 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ．

作法：如图，

①在直线 $l$ 上取点 $D$ ；

②分别以点 $A ， D$ 为圆心， $A D$ 长为半径画弧，交于点 $B ， E$ ；

③作直线 $B E$ ，交直线 $l$ 于点 $c$ ；

④连接 $A B$ ．

$Δ A B C$ 就是所求作的三角形．

根据小明设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：连接 $B D$ ， $E A$ ， $E D$ ．

$∵ B A = B D = A D$ ，

$∴ Δ A B D$ 是等边三角形．

$∴ ∠ B A D = 60 °$ ．

$∵ B A = B D ， E A =$ ，

$∴$ 点 $B ， E$ 在线段 $A D$ 的垂直平分线上（）（填推理的依据）．

$∴ B E ⊥ A D$ ．

$∴ ∠ A C B = 90 °$ ．

$∴ ∠ A B C + ∠ B A D = 90 °$ （）（填推理的依据）．

$∴ ∠ A B C = 30 °$ ．

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24. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D ， E$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ 上， $D E = D B$ ， $∠ D E C = ∠ B$ ．
求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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25. 小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n (n + 1)} - \frac{n}{n (n + 1)} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ．

反过来，有 $\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

运用这个运算规律可以计算：

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ．

(1)、请你运用这个运算规律计算： $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} =$ ；

(2)、小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有 $1 L$ 水，按照如下要求把水倒出：第 $1$ 次倒出 $\frac{1}{2} L$ 水，第 $2$ 次倒出的水量是 $\frac{1}{2} L$ 的 $\frac{1}{3}$ ，第 $3$ 次倒出的水量是 $\frac{1}{3} L$ 的 $\frac{1}{4}$ ，第 $4$ 次倒出的水量是 $\frac{1}{4} L$ 的 $\frac{1}{5}$ ．．．．．第 $m$ 次倒出的水量是 $\frac{1}{m} L$ 的 $\frac{1}{m + 1}$ ．按照这种倒水的方法，这 $1 L$ 水能倒完吗?

请你补充解决过程：

①列出倒 $m$ 次水倒出的总水量的式子并计算；

②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这 $1 L$ 水能倒完吗”，并说明理由．

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26. 已知：如图， $∠ M O N = 60 °$ ，点 $A$ 在射线 $O M$ 上，点 $B ， C$ 在射线 $O N$ 上（点 $C$ 在点 $B$ 的右侧），且 $∠ O A B + ∠ O A C = 60 °$ ．点 $B$ 关于直线 $O M$ 的对称点为 $D$ ，连接 $C D$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、猜想线段 $C D ， A B$ 的数量关系，并证明．

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27. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $P$ $(a ， b)$ 和图形 $W$ ，给出如下定义：如果图 $W$ 上存在一点 $Q$ $(c ， d)$ 使得 ${\begin{array}{l} a = c ， \\ b + d = k ， \end{array}$ ，那么点 $P$ 是图形 $W$ 的“ $k$ 阶关联点”

(1)、若点 $P$ 是原点 $O$ 的“ $- 1$ 阶关联点”，求点 $P$ 的坐标；

(2)、如图，在 $Δ A B C$ 中， $A (1 ， - 1)$ ， $B (- 2 ， - 4)$ ， $C (0 ， - 6)$ ．

①若点 $P$ 是 $Δ A B C$ 的“ $0$ 阶关联点”，把所有正确的点 $P$ 都画在图中；

②若点 $P$ 是 $Δ A B C$ 的“ $k$ 阶关联点”，且点 $P$ 在 $Δ A B C$ 上，求 $k$ 的取值范围．

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