北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 ${(2 a b^{2})}^{3} = 6 a^{3} b^{6}$ D、 $3 a^{2} \div 4 a^{2} = \frac{3}{4} a$

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3. 一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（）

A、三边形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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4. 下列因式分解变形正确的是（）

A、 $2 a^{2} - 4 a = 2 (a^{2} - 2 a)$ B、 $a^{2} - 2 a + 1 = {(a - 1)}^{2}$ C、 $- a^{2} + 4 = (a + 2) (a - 2)$ D、 $a^{2} - 5 a - 6 = (a - 2) (a - 3)$

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5. 把分式方程 $\frac{1}{x - 2} - \frac{1 - x}{2 - x} = 1$ 化为整式方程正确的是（）

A、 $1 - (1 - x) = 1$ B、 $1 + (1 - x) = 1$ C、 $1 - (1 - x) = x - 2$ D、 $1 + (1 - x) = x - 2$

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6. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（）

A、HL B、SAS C、ASA D、SSS

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7. 如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（）个格点三角形与△ABC成轴对称.

A、6个 B、5个 C、4个 D、3个

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8. $\frac{n}{m}$ ， $\frac{1}{m + n}$ ， $\frac{1}{n}$ 都有意义，下列等式① $\frac{n}{m} = \frac{n^{2}}{m^{2}}$ ；② $\frac{1}{m + n} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ ；③ $\frac{n}{m} = \frac{2 n}{2 m}$ ；④ $\frac{n}{m} = \frac{n + 2}{m + 2}$ 中一定不成立的是（）

A、②④ B、①④ C、①②③④ D、②

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二、填空题

9. 分解因式： $2 x^{3} - 8 x =$ ．

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10. 若分式 $\frac{2}{x + 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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11. 若 $2 a - b = 0$ ，且 $b \neq 0$ ，则分式 $\frac{a + b}{a - b}$ 的值为．

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12. 如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为．

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13. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是

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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，0），若点A在第一象限内，且AB=OB，∠A=60°，则点A到y轴的距离为．

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15. 对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是．

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16. 一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为．

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三、解答题

17. 计算： $a^{3} \cdot a + {(- a^{2})}^{3} \div a^{2}$ ．

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18. 解分式方程： $\frac{1}{x - 1} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ ．

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19. 解分式方程： $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} + 1 = \frac{x}{x - 1}$ .

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20. 已知 $2 x^{2} - 7 x = 7$ ，求代数式 ${(2 x - 3)}^{2} - (x - 3) (2 x + 1)$ 的值．

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21. 如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P为BC上一点（不与B，C重合）．在AB上找一点M，在AC上找一点N，使得△AMN与△PMN全等，以下是甲、乙两位同学的作法．

甲：连接AP，作线段AP的垂直平分线，分别交AB，AC于M，N两点，则M，N两点即为所求；

乙：过点P作PM∥AC，交AB于点M，过点P作PN∥AB，交AC于点N，则M，N两点即为所求．

(1)、对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是____________；

A、两人都正确 B、甲正确，乙错误 C、甲错误，乙正确

(2)、选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．

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22. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点．

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23. 2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？

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24. 已知 $a = m^{2} + n^{2}$ ， $b = m^{2}$ ， $c = m n$ ，且m>n>0．

(1)、比较a，b，c的大小；

(2)、请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．

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25. 在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，直线BC上有一点P，M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接AM，AN，BM．

(1)、如图1，当点P在线段BC上时，求∠MAN和∠MBC的度数；

(2)、如图2，当点P在线段BC的延长线上时，

①依题意补全图2；

②探究是否存在点P，使得 $\frac{B M}{B N} = 3$ ，若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由．

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26. 在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB＞AC时，∠C＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：

(1)、在△ABC中，AD是BC边上的高线．
①如图1，若AB=AC，求证∠BAD=∠CAD；

②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，求∠BAD与∠CAD的大小关系．

(2)、在△ABC中，AD是BC边上的中线．
①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；

②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，求∠BAD与∠CAD的大小关系

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