高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物的简单几何性质

试卷更新日期：2021-03-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知点 $P (6, y)$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，若点 $P$ 到抛物线焦点 $F$ 的距离等于8，则焦点 $F$ 到抛物线准线的距离等于（）

A、2 B、1 C、4 D、8

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2. A是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当 $| A F | = 4$ 时， $∠ O F A = 120^{\circ}$ ,则抛物线的准线方程是（）

A、 $x = - 1$ B、 $y = - 1$ C、 $x = - 2$ D、 $y = - 2$

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3. $F$ 是抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点， $A 、 B$ 是抛物线上的两点， $| A F | + | B F | = 8$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离为（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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4. 抛物线x²＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、1 C、2 D、3

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5. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的两条渐近线分别与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线交于 $A$ ， $B$ 两点． $O$ 为坐标原点．若 $Δ O A B$ 的面积为1，则 $p$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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6. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $A$ ， $B$ 在准线上的射影为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，则 $∠ A_{1} F B_{1}$ 等于（）．

A、45° B、90° C、60° D、120°

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7. 已知直线 $y = k x - k$ 及抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，则（）

A、直线与抛物线有一个公共点 B、直线与抛物线有两个公共点 C、直线与抛物线有一个或两个公共点 D、直线与抛物线可能没有公共点

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8. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 0）的焦点为F，0为坐标原点，M为抛物线上一点，且 $| M F | = 3 | O F |, Δ M F O$ 的面积为 $16 \sqrt{2}$ ，则抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 6 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = 16 x$ D、 $y^{2} = 20 x$

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9. 已知点 $F$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点，点 $P$ 为抛物线上的任意一点， $M (1 ， 2)$ 为平面上点，则 $| P M | + | P F |$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $M (x_{0}, 2 \sqrt{2}) (x_{0} > \frac{p}{2})$ 是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线 $x = \frac{p}{2}$ 交于E，G两点，若 $s i n ∠ M F G = \frac{1}{3}$ ，则抛物线C的方程是（）

A、 $y^{2} = x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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11. 已知点A是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足 $| P A | = m | P B |$ ，当 $m$ 取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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二、多选题

12. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ .点 $M$ 在 $y$ 轴上，若线段 $F M$ 的中点 $B$ 在抛物线上，且点 $B$ 到抛物线准线的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，则点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(0 ， - 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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三、填空题

13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点 $P (- 5, 2 \sqrt{5})$ 到焦点的距离是6，则其标准方程为．

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14. 一个正三角形的两个顶点在抛物线 $y^{2} ＝ a x$ 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36 $\sqrt{3}$ ，那么 $a$ ＝.

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15. 在已知抛物线 $y = x^{2}$ 上存在两个不同的点M，N关于直线 $y = k x + \frac{9}{2}$ 对称，则实数k的取值范围为．

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16. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $P (1, 2)$ 在抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 上，过点 $P$ 作两直线分别交抛物线 $C$ 于点 $A$ ， $B$ ，若 $k_{P A} + k_{P B} = 0$ ，则 $k_{A B} \cdot k_{O P}$ 的值为.

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17. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{2} (\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B})$ ，过 $M$ 作 $y$ 轴的垂线与抛物线交于点 $P$ ，若 $| P F | = 2$ ，则点 $P$ 的横坐标为， $| A B | =$ ．

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四、解答题

18. 给定抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，F是抛物线 $C$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点．若 $| F A | = 2 | B F |$ ，求直线 $l$ 的方程．

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19. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线l：y= $x - 2$ 与抛物线C交于A，B两点.

(1)、求AB弦长；

(2)、求△FAB的面积.

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20. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线上一点.

(1)、求双曲线的焦点坐标；

(2)、若点 $P$ 到抛物线的焦点的距离是5，求 $x_{0}$ 的值.

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21. 已知直线l经过抛物线y²＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．

(1)、若AF＝4，求点A的坐标；

(2)、求线段AB的长的最小值．

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22. 已知抛物线 $y^{2} = - x$ 与直线 $y = k (x + 1)$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、求证： $O A ⊥ O B$ ；

(2)、当 $△ O A B$ 的面积等于 $\sqrt{10}$ 时，求 $k$ 的值.

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