高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程

试卷更新日期：2021-03-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系内，到点(1，1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是（）

A、直线 B、抛物线 C、圆 D、双曲线

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2. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $Ρ (x ， y)$ 为该抛物线上的动点，又已知点 $Α (2 ， 2)$ 是一个定点，则 $| Ρ Α | + | Ρ F |$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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4. 若动点 $M (x, y)$ 到点 $F (4, 0)$ 的距离比它到直线 $x + 5 = 0$ 的距离小1，则点M的轨迹方程是（）

A、 $x + 4 = 0$ B、 $x - 4 = 0$ C、 $y^{2} = 8 x$ D、 $y^{2} = 16 x$

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5. 已知抛物线 $x^{2} = 2 a y$ 的准线方程为 $y = 4$ ，则 $a$ 的值为（）

A、8 B、 $\frac{1}{8}$ C、-8 D、 $- \frac{1}{8}$

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6. 若抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点与椭圆 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{5} = 1$ 的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）

A、 $y = - 1$ B、 $y = 1$ C、 $y = - 2$ D、 $y = 2$

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7. 以坐标轴为对称轴，焦点在直线 $3 x - 4 y - 12 = 0$ 上的抛物线的标准方程为（）

A、 $x^{2} = 16 y$ 或 $y^{2} = 12 x$ B、 $y^{2} = 16 x$ 或 $x^{2} = 12 y$ C、 $y^{2} = 16 x$ 或 $x^{2} = - 12 y$ D、 $x^{2} = 16 y$ 或 $y^{2} = - 12 x$

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8. 设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )

A、6 B、4 C、8 D、12

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9. 已知点 $A (0 ， 2)$ ，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若 $\frac{| F M |}{| M N |} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $p$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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10. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点作直线交抛物线于 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ 两点，若 $x_{1} + x_{2} = 3 p$ ，则 $| P Q |$ 等于（）

A、4p B、5p C、6p D、8p

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11. 设点A（4，5），抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点为F，P为抛物线上与直线AF不共线的一点，则△PAF周长的最小值为（）

A、18 B、13 C、12 D、7

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12. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为2.若抛物线 $C_{2} : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点到双曲线 $C_{1}$ 的渐近线的距离为2，则抛物线 $C_{2}$ 的方程为（）

A、 $x^{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} y$ B、 $x^{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} y$ C、 $x^{2} = 8 y$ D、 $x^{2} = 16 y$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的焦距为.若双曲线 $C$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} ＝ 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合，则实数 $p$ 的值为.

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14. 已知直线 $l_{1}$ $:$ $2 x - y + 2 = 0$ 和直线 $l_{2}$ $:$ $x = - 1$ ，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的距离之和的最小值是．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{3}$ －y²＝1的渐近线与抛物线x²＝4 $\sqrt{3}$ y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为．

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16. 如图，F为抛物线y²＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，若 $\overset{⇀}{F A}$ ＋ $\overset{⇀}{F B}$ ＋ $\overset{⇀}{F C}$ ＝ $\vec{0}$ ，则| $\overset{⇀}{F A}$ |＋| $\overset{⇀}{F B}$ |＋| $\overset{⇀}{F C}$ |＝.

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17. 抛物线 $x = \frac{1}{4 m} y^{2}$ 的焦点坐标是.

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18. 一个动圆与定圆 $F$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 相外切，且与定直线 $l$ ： $x = 1$ 相切，则此动圆的圆心 $M$ 的轨迹方程是.

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三、解答题

19. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点是 $F$ ，点 $P$ 是抛物线上的动点，点 $A (3, 2)$ ．

(1)、求 $| P A | + | P F |$ 的最小值，并求出取最小值时点 $P$ 的坐标；

(2)、求点 $P$ 到点 $B (\frac{1}{2}, 2)$ 的距离与到直线 $x = - \frac{1}{2}$ 的距离之和的最小值．

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20. 求满足下列条件的曲线的标准方程：

(1)、 $a = 10$ ， $e = \frac{3}{5}$ ，焦点在 $x$ 轴上的椭圆；

(2)、顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 $x - y + 2 = 0$ 上抛物线的方程.

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21. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？

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22. 探照灯反射镜（如图）的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直径为 $60 cm$ ，灯深 $40 cm$ ，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

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