高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质

试卷更新日期：2021-03-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 双曲线mx²＋y²＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（）

A、4 B、－4 C、－ $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，若 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P (0 ， 2 b)$ 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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3. “ $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ”是“双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 2 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充分不必要条件

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则该双曲线的方程为（）

A、 $x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}$ B、 $x^{2} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - y^{2} = \sqrt{2}$ D、 $x^{2} - y^{2} = 2$

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率是 $2$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $2 x \pm y = 0$ D、 $x \pm 2 y = 0$

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6. 已知F₁ ， F₂是双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点，点M在E上，M F₁与 $x$ 轴垂直，sin $∠ M F_{2} F_{1} = \frac{1}{3}$ ,则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 3 b$ ， $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = \frac{9}{4} a b$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、3

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8. 已知点 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点，点 $E$ 是该双曲线的右顶点，过 $F$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $G$ 、 $H$ 两点，若 $△ G H E$ 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 1 + \sqrt{2})$ D、 $(1, 1 + \sqrt{2})$

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9. 已知 $P$ 为圆 $C : {(x - \sqrt{5})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{100}$ 上一个动点， $Q$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 渐近线上动点，则线段 $P Q$ 长度的最小值为（）

A、 $\frac{9}{10}$ B、1 C、2 D、 $\frac{21}{10}$

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10. 已知双曲线 $E$ 的中心为原点， $P (3, 0)$ 是 $E$ 的焦点，过F的直线 $l$ 与 $E$ 相交于A，B两点，且AB的中点为 $N (- 12, - 15)$ ,则 $E$ 的方程式为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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11. $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A ， B$ 两点，若 $Δ A B F_{2}$ 为等边三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、2 D、3

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二、多选题

12. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左右焦点，点 $P$ 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ B、以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ C、 $F_{1}$ 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D、 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为1

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三、填空题

13. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{1}$ 的直线交双曲线 $C$ 左支于 $A, B$ 两点，且 $| A F_{2} | = 6$ ， $| B F_{2} | = 10$ ， $| A B | = 8$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是．

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15. 有公共焦点F₁ ， F₂的椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F₁AF₂＝90°，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为．

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16. 已知 $F$ 为双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，过点 $F$ 向双曲线 $E$ 的一条渐近线引垂线，垂足为 $A$ ，且交另一条渐近线于点 $B$ ，若 $| O F | = | F B |$ ，则双曲线 $E$ 的离心率是.

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17. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是．

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四、解答题

18. 已知 $F_{1} （ - 2 ， 0 ）$ ， $F_{2} （ 2 ， 0 ）$ ，点 $P$ 满足 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 2$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $E$ .

(1)、求轨迹 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $F_{2}$ 且与轨迹 $E$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点.
（i）无论直线 $l$ 绕点 $F_{2}$ 怎样转动，在 $x$ 轴上总存在定点 $M (m ， 0)$ ，使 $M P ⊥ M Q$ 恒成立，求实数 $m$ 的值.

（ii）在（i）的条件下，求 $Δ M P Q$ 面积的最小值.

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19. 已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ ，过点 $P (\frac{\sqrt{6}}{2}, 1)$ ．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、是否存在被点 $B (1, 1)$ 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

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20. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0,b>0)的离心率为 $\sqrt{3}$ ,

(1)、求双曲线C的渐近线方程.

(2)、当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上,求m的值.

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21. 已知双曲线方程 $2 x^{2} - y^{2} = 2$ .

(1)、求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；

(2)、过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于 $Q_{1}, Q_{2}$ 两点，且 $Q_{1}, Q_{2}$ 两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

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