高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程

试卷更新日期：2021-03-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（）

A、22或2 B、7 C、22 D、2

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2. 已知 $M (- 3, 0), N (3, 0), | P M | - | P N | = 6$ ，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、一条射线 B、双曲线右支 C、双曲线 D、双曲线左支

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上一点 $P$ 到左焦点 $F_{1}$ 的距离为10，则 $P F_{1}$ 的中点 $N$ 到坐标原点 $O$ 的距离为（）

A、3或7 B、6或14 C、3 D、7

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4. 已知平面内两定点 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ ，下列条件中满足动点 $P$ 的轨迹为双曲线的是（）

A、 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = \pm 3$ B、 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = \pm 4$ C、 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = \pm 5$ D、 ${| P F_{1} |}^{2} - {| P F_{2} |}^{2} = \pm 4$

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5. 焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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6. “ $m > 1$ 且 $m \neq 2$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{2 - m} - \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (x \leq - 3)$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (x \geq 3)$

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8. $Δ A B C$ 中， $A (- 5, 0)$ ， $B (5, 0)$ ，点 $C$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上，则 $\frac{sin A - sin B}{sin C} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\pm \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\pm \frac{4}{5}$

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9. 已知 $F_{1} (- 8, 3), F_{2} (2, 3)$ 为定点，动点P满足 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 2 a$ ，当 $a = 3$ 和 $a = 5$ 时，点P的轨迹分别为（）

A、双曲线和一条直线 B、双曲线的一支和一条直线 C、双曲线和一条射线 D、双曲线的一支和一条射线

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10. 若 $a x^{2} + b y^{2} = b (a b < 0)$ ，则这个曲线是（）

A、双曲线，焦点在 $x$ 轴上 B、双曲线，焦点在 $y$ 轴上 C、椭圆，焦点在 $x$ 轴上 D、椭圆，焦点在 $y$ 轴上

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11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ 有相同的焦点，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、1或-2 C、1或 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

12. 已知圆C₁：（x＋3）²＋y²＝1和圆C₂：（x－3）²＋y²＝9，动圆M同时与圆C₁及圆C₂相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

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13. 如图所示，已知双曲线以长方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ ， $B$ 为左、右焦点，且双曲线过 $C$ ， $D$ 两顶点．若 $| A B | = 4$ ， $| B C | = 3$ ，则此双曲线的标准方程为．

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14. 经过点 $P (- 3, 2 \sqrt{7})$ 和 $Q (- 6 \sqrt{2}, - 7)$ 的双曲线的标准方程是.

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15. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 9 = 0$ 与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为.

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P在双曲线上，且满足 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 2 \sqrt{5}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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17. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是该双曲线上一点，且 $| P F_{1} | : | P F_{2} | = 2 : 1$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积等于．

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三、解答题

18. 设双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{27} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 有相同的焦点，且与椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程.

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19. k代表实数，讨论方程kx²+2y²﹣8=0所表示的曲线．

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20. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1, F_{1}, F_{2}$ 是其两个焦点，点 $M$ 在双曲线上.

(1)、若 $∠ F_{1} M F_{2} = 90^{°}$ ，求 $△ F_{1} M F_{2}$ 的面积；

(2)、若 $∠ F_{1} M F_{2} = 120^{°}, △ F_{1} M F_{2}$ 的面积是多少？若 $∠ F_{1} M F_{2} = 60^{°}, △ F_{1} M F_{2}$ 的面积又是多少？

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