高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质

试卷更新日期：2021-03-11 类型：同步测试

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一、单选题

1. 直线y＝kx－k＋1与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、不确定

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2. 过椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 4$ 的左焦点作倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的弦 $A B$ ，则弦 $A B$ 的长为（）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{16}{7}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{7}{6}$

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3. 直线 $y = x + 1$ 被椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 所截得线段的中点的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{3}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{4}{3}, \frac{7}{3})$ C、 $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(- \frac{13}{2}, - \frac{17}{2})$

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4. 椭圆 $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ 的长轴长、短轴长分别为（）

A、 $2, \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}, 2$ C、 $4, 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}, 4$

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5. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左，右焦点， $A$ 为上顶点，则 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、6 B、15 C、 $6 \sqrt{7}$ D、 $3 \sqrt{7}$

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6. 中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，若长轴长为 $18$ ，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{72} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{45} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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7. 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（）

A、 $(\pm 13 ， 0)$ B、 $(0 ， \pm 10)$ C、 $(0 ， \pm 13)$ D、 $(0 ， \pm \sqrt{69})$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，点 $B$ 在椭圆上，且 $B F ⊥ x$ 轴，直线 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\frac{| A P |}{| P B |} = 3$ ，则椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 已知 $a > b > 0$ ，则椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）有（）

A、相同的焦点 B、相同的顶点 C、相同的离心率 D、相同的长、短轴

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二、多选题

10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1与椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16}$ =1有相同的长轴，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的短轴长与椭圆 $\frac{y^{2}}{21} + \frac{x^{2}}{9}$ =1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（）

A、a²=25，b²=16 B、a²=9，b²=25 C、a²=25，b²=9或a²=9，b²=25 D、a²=25，b²=9

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三、填空题

11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆 $E$ 的离心率是.

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12. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为．

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13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为 $\frac{b}{5}$ ，则该椭圆的离心率为.

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14. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，左顶点是A，P在 $x = \frac{3 a}{2}$ 上，若 $Δ A P F$ 是底角为30°的等腰三角形，则 $e =$

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，若椭圆上存在一点 $P$ 使 $\frac{a}{\sin P F_{1} F_{2}} = \frac{c}{\sin P F_{2} F_{1}}$ ，则该椭圆的离心率的取值范围为．

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16. 若点O和点F分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}$ ＋ $\frac{y^{2}}{3}$ ＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 $\vec{O P}$ · $\vec{F P}$ 的最大值为.

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17. 已知F是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距， $△ P O F$ 的面积为6，则 $b =$ ．

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四、解答题

18. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、当直线 $y = x + m$ 与椭圆有公共点时，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设点 $M (2, 1)$ 是直线 $l$ 被椭圆所截得的线段 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程．

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19. 如图，设 $P$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影， $M$ 为 $P D$ 上一点，且 $| M D | = \frac{4}{5} | P D |$ .

(1)、当 $P$ 在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、求过点 $(3 ， 0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度.

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20. 如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率 $e = \frac{1}{3}$ ， $F$ ， $A$ 分别是椭圆的左焦点和右顶点， $P$ 是椭圆上任意一点，若 $\vec{P F} \cdot \vec{P A}$ 的最大值是12，求椭圆的方程．

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有一点 $A$ ，它关于原点的对称点为 $B$ ，点 $F$ 为椭圆的右焦点，且满足 $A F ⊥ B F$ ，设 $∠ A B F = α$ ，且 $α \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ ，求该椭圆的离心率 $e$ 的取值范围．

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A (a ， 0)$ ， $B (0 ， b)$ ， $O (0 ， 0)$ ， $Δ O A B$ 的面积为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证： $| A N | \cdot | B M |$ 为定值.

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23. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过椭圆的左焦点 $F$ 且倾斜角为 $30 °$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 相交所得弦长为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、是否存在过点 $P (0 ， 3)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $| P A | = 2 | A B |$ ，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

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