初中数学苏科版七年级下册 9.4 乘法公式——平方差公式同步训练

试卷更新日期：2021-03-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 计算 $(a + 2) (2 - a)$ 的结果是（）

A、2a-4 B、 $a^{2} - 4$ C、 $4 - a^{2}$ D、 $a^{2} - 2 a + 4$

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2. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(1 - 2 b) (2 b - 1)$ B、 $(- 1 - 2 b) (1 + 2 b)$ C、 $(- 1 - 2 b) (- 1 + 2 b)$ D、 $(1 - 2 b) (1 + 2 a)$

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3. 等式（﹣x²﹣y²）（）=y⁴﹣x⁴成立，括号内应填入下式中的（）

A、x²﹣y² B、y²﹣x² C、﹣x²﹣y² D、x²+y²

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4. 下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（）

A、(a³+b³)(a³﹣b³) B、(a²+b²)(b²﹣a²) C、(2x²y+1)(2x²y﹣1) D、(x²﹣2y)(2x+y²)

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5. 下列运用平方差公式计算，错误的是（）.

A、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ C、 $(2 x + 1) (2 x - 1) = 2 x^{2} - 1$ D、 $(- a + b) (- a - b) = a^{2} - b^{2}$

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6. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2 x y^{3})}^{2} = 4 x^{2} y^{5}$ B、 $(a - b) (a + c) = a^{2} - b c$ C、 ${(x - 2 y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}$ D、 $(- 2 x + 1) (- 1 - 2 x) = 4 x^{2} - 1$

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7. 已知 $a + b = 7$ ， $a - b = 8$ 则 $a^{2} - b^{2}$ 的值是（）

A、11 B、15 C、56 D、60

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8. 下列计算中：①(2x)³·(－5x²y)＝－10x⁵y；②(2a²－b)(2a²＋b)＝4a²－b²；③(x＋3)(3－x)＝x²－9；④(－x＋y)(x＋y)＝－(x－y)(x＋y)＝－x²－y² ．其中错误的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（）

A、[(a+c)﹣b] [(a﹣c)+b] B、[(a﹣b)+c][(a+b)﹣c] C、[a﹣(b+c)] [a+(b﹣c)] D、[a﹣(b﹣c)] [a+(b﹣c)]

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10. 计算（x⁴+1）（x²+1）（x+1）（x﹣1）的结果是（）

A、x $^{8}$ +1 B、x $^{8}$ ﹣1 C、（x+1） $^{8}$ D、（x﹣1） $^{8}$

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二、填空题

11. 化简： $(x + 1) (x - 1) + 1 =$ ．

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12. 计算： $(3 x - 2 y) (- 3 x - 2 y) =$ .

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13. 计算：（m+2）（m﹣2）﹣（m﹣1）（m+5）= ．

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14. 计算：2019²-2017×2021= ．

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15. 若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）²﹣（b﹣2）²的值为．

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16. 如果(3m＋n＋3)(3m ＋n－3)＝40，则3m ＋n的值为；

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17. 定义：如果一个数的平方等于－1，记为 $i^{2} = - 1$ ，数 $i$ 叫做虚数单位．我们把形如 $a + b i$ （ $a$ ， $b$ 为有理数或无理数）的数称为复数，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如：计算 $(2 + 3 i) (3 - 2 i) = 6 - 4 i + 9 i - 6 i^{2} = 6 + 5 i + 6 = 12 + 5 i$ ，计算 $(- 3 + 4 i) (3 + 4 i)$ ＝.

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18. $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) ...... (1 - \frac{1}{1999^{2}}) (1 - \frac{1}{2000^{2}})$ = ．

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三、解答题

19. 计算
（1） $- 2^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} + {(3 - π)}^{0}$
（2）（﹣a）²•a⁴÷a³
（3）（2x﹣1）（x﹣3）
（4）（3x﹣2y）²（3x+2y）²
（5）（x﹣2y+4）（x﹣2y﹣4）

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20.
课堂上，老师让同学们计算 $(2 m + n) (2 m - n) - m (4 m - 1)$ ，左边文本框中是小方的解题过程．请你作为小老师对其进行评价，判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．

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21. 某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了不正确，解答过程如下：
原式＝a²+2ab﹣（a²﹣b²）（第一步）

＝a²+2ab﹣a²﹣b²（第二步）

＝2ab﹣b² （第三步）

(1)、该同学解答过程从第步开始出错，不正确原因是；

(2)、写出此题正确的解答过程．

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22. 观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）=x²﹣1
（x﹣1）（x²+x+1）=x³﹣1
（x﹣1）（x³+x²+x+1）=x⁴﹣1
（x﹣1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵﹣1…
运用上述规律，试求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值．

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23. 已知2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，2⁶＝64，2⁷＝128，2⁸＝256，……

(1)、请你据此推测出2⁶⁴的个位数字是几？

(2)、利用上面的结论，求(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)(2⁸＋1)…(2³²＋1)的个位数字．

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24. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=2²﹣0² ， 12=4²﹣2² ， 20=6²﹣4² ，因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．

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25. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=3²-1² ， 16=5²-3² ， 24=7²-5² ，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”．

(1)、在32，75，80这三个数中，是和谐数的是；

(2)、若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为；

(3)、小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否符合题意．

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26. 乘法公式的探究及应用．

(1)、如图1，阴影部分的面积是（写成平方差的形式）；

(2)、如图2，若将阴影部分裁剪后重新拼成一个长方形，它的宽是长是，面积可表示为（写成多项式乘法的形式）．

(3)、运用以上得到的公式，计算：（x﹣2y+3z）（x+2y﹣3z）

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27. 如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形。

(1)、请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：，；

(2)、请问以上结果可以验证哪个乘法公式？；

(3)、试利用这个公式计算：
①、 $(2 m + n - p) (2 m - n + p)$ ②、 $\frac{100^{2}}{252^{2} - 248^{2}}$
③、 $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) + 1$

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28. 如图1，边长为 $a$ 的大正方形有一个边长为 $b$ 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）

(1)、如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成平方差的形式）

(2)、如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是.（写成多项式乘法形式）

(3)、比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式.

(4)、请应用这个公式完成下列各题：
①已知 $4 m^{2} - n^{2} = 12$ ， $2 m + n = 4$ ，则 $2 m - n =$ .

②计算： $2020^{2} - 2018 \times 2022$

③计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{2019^{2}}) (1 - \frac{1}{2020^{2}})$

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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