高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程

试卷更新日期：2021-03-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列说法中正确的是（）

A、已知 $F_{1} (- 4, 0), F_{2} (4, 0)$ ，平面内到 $F_{1}, F_{2}$ 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B、已知 $F_{1} (- 4, 0), F_{2} (4, 0)$ ，平面内到 $F_{1}, F_{2}$ 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C、平面内到两点 $F_{1} (- 4, 0), F_{2} (4, 0)$ 的距离之和等于点 $M (5, 3)$ 到 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和的点的轨迹是椭圆 D、平面内到点 $F_{1} (- 4, 0), F_{2} (4, 0)$ 距离相等的点的轨迹是椭圆

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2. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是椭圆上的点，且 $| P F_{1} | : | P F_{2} | = 2 : 1$ ，则 $Δ F_{1} P F_{2}$ 的面积等于（）

A、5 B、4 C、3 D、1

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3. 设定点 $F_{1} (0, - 2), F_{2} (0, 2)$ ，动点P满足条件 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = m + \frac{4}{m}$ （m为常数，且 $m > 2$ ），则点P的轨迹是（）

A、椭圆 B、线段 C、不存在 D、椭圆或线段

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4. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点， $P$ 是椭圆上的一点，且 $P$ 到两焦点的距离之差为2，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 是（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、斜三角形 D、钝角三角形

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5. 直线 $l : 2 x + b y + 3 = 0$ 过椭圆 $C : 10 x^{2} + y^{2} = 10$ 的一个焦点，则 $b$ 的值是（）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、-1或1 D、 $- \frac{1}{2} 或 \frac{1}{2}$

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6. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆 $\frac{x^{2}}{3}$ ＋y²＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、6 C、4 $\sqrt{3}$ D、12

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7. 椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{100} + \frac{x^{2}}{36} = 1$

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8. 已知椭圆的焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在 $x$ 轴上，记椭圆与 $x$ 轴的交点为 $A, B$ ，其中点 $A$ 在负半轴上；记椭圆与 $y$ 轴的交点为 $C, D$ .若 $| F_{2} C | = 2, | F_{1} B | = 3$ ，则该椭圆的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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9. 如图所示， $F_{1} F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点，点P在椭圆上， $△ {POF}_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，则 $b^{2}$ 的值为 $($ $)$

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 已知椭圆的焦点为（﹣1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1$

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二、填空题

11. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点为F₁、F₂ ，点Р在椭圆上，若|PF₁|=4，则∠F₁PF₂的大小为.

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12. 过点（ $\sqrt{3}$ ， $- \sqrt{5}$ ），且与椭圆 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} =$ 1有相同的焦点的椭圆的标准方程为.

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13. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P在椭圆上，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 2$ ，若 $a = 2 b$ ，则椭圆的标准方程为.

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14. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{9}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ．

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上的动点，当 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为直角时，点 $P$ 的横坐标是．

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三、解答题

16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的两焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 满足 $0 < \frac{x_{0}^{2}}{2} + y_{0}^{2} < 1$ ，求 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 的值范围．

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17. 动圆 $C$ 与内切于定圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 32$ ，与定圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 8$ 外切，点 $A$ 的坐标为 $(0, \frac{9}{2})$ ．

(1)、求动圆 $C$ 的圆心 $C$ 的轨迹方程 $E$ ；

(2)、若轨迹 $E$ 上的两点 $P, Q$ 满足 $\vec{A P} = 5 \vec{A Q}$ ，求 $| P Q |$ 的值．

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若点在第一象限，且 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}} \leq \frac{1}{4}$ ，求点的横坐标的取值范围；

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19. 已知椭圆C与椭圆 $x^{2} + 37 y^{2} = 37$ 的焦点 $F_{1}, F_{2}$ 相同且椭圆C过点 $(\frac{5 \sqrt{7}}{2}, - 6)$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若点P在椭圆C上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，求 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积.

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20. 已知椭圆 $M$ 与椭圆 $N : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 有相同的焦点，且椭圆 $M$ 过点 $(- 1, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、设椭圆 $M$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $M$ 上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为1，求点 $P$ 的坐标.

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