高中数学人教（A 2019）必修二第六章平面向量坐标运算

试卷更新日期：2021-03-10 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 2), \overset{⇀}{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} =$ （）

A、 $(0, 5)$ B、 $(5, - 1)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- 3, 4)$

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2. 若平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) • (\vec{a} - 3 \vec{b}) = - 72$ ，则向量 $\vec{a}$ 的模为（）

A、2 B、4 C、6 D、12

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3. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，且 $（ \vec{a} - \vec{b} ） ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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4. 已知非零向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足： $\overset{⇀}{a} = (1, 1)$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ， $(\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, \sqrt{3}), \overset{⇀}{b} = (3, m)$ ，若向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、0 D、 $- \sqrt{3}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ 的值为（）

A、7 B、-7 C、-1 D、1

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (3 ， 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 6 ， k)$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则 $k =$ （）

A、 $18$ B、 $- 18$ C、 $- 2$ D、 $- 6$

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8. 已知在△ABC中， $A B = 3 ， A C = 4 ， B C = \sqrt{10}$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C}$ ＝（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 在正方形中，点 $E$ 为 $C D$ 边的中点，则（）

A、 $\overset{⇀}{A E} = \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\overset{⇀}{A E} = \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\overset{⇀}{A E} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D}$ D、 $\overset{⇀}{A E} = - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D}$

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10. 设 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）

A、 $| \overset{⇀}{a} • \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} | | \overset{⇀}{b} |$ B、向量 $\overset{⇀}{a}$ 在向量 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影为 $| \overset{⇀}{a} | cos 〈 \overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b} 〉$ C、 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} | - | \overset{⇀}{b} |$ ，则 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ D、若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则有 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$

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11. 已知在梯形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C ， A D / / B C$ ，且 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $M$ 为 $C D$ 中点，则（）

A、 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{A B}$ 是定值 B、 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{A C}$ 是定值 C、 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{A D}$ 是定值 D、 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 是定值

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12. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点， $A M = 3$ ， $B C = 10$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} =$ （）

A、34 B、28 C、-16 D、-22

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二、填空题

13. 已知菱形ABCD的棱长为3，E为棱CD上一点且满足 $\bar{C E} = 2 \bar{E D}$ ，若 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{E B} = - 6$ ，则 $\cos C =$ .

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14. 在平行四边形ABCD中, AD = 1, $∠ B A D = 60^{°}$ , E为CD的中点. 若 $\vec{A C} \cdot \vec{B E} = 1$ , 则AB的长为.

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15. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，若 $\vec{e}$ 为平面单位向量，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{e}$ 的最小值为.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 2$ . 若 $\overset{⇀}{B D} = 2 \overset{⇀}{D C}$ ， $\overset{⇀}{A E} = λ \overset{⇀}{A C} - \overset{⇀}{A B} (λ \in R)$ ，且 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{A E} = - 4$ ，则 $λ$ 的值为.

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $M ， N$ 分别是 $B C ， C D$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A C} = λ \overset{⇀}{A M} + μ \overset{⇀}{B N}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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三、解答题

18. 已知 $\vec{a}$ =(sinx，1)， $\vec{b}$ =(sinx，cosx)，f（x）= $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ ．求f（x）的最大值以及此时x的值．

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19. 已知向量 $\vec{a}$ =（2，0）， $\vec{b}$ =（1，4）．
（Ⅰ）求| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |的值；
（Ⅱ）若向量k $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 平行，求k的值．

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20. 设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．

(1)、若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{C D}$ ，求D点的坐标；

(2)、设向量 $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{B C}$ ，若k $\overset{⇀}{a}$ – $\overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{a}$ +3 $\overset{⇀}{b}$ 平行，求实数 $k$ 的值．

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21. 已知： $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{c}$ 是同一平面上的三个向量，其中 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 2)$

(1)、若 $| \overset{⇀}{c} |$ $= 2 \sqrt{5}$ ，且 $\overset{⇀}{c} / / \overset{⇀}{a}$ ，求 $\overset{⇀}{c}$ 的坐标；

(2)、若 $| \overset{⇀}{b} | = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}$ 与 $2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 垂直，求 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ 。

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22. 已知向量 $\vec{a}$ =（ $\sqrt{3}$ ， ﹣1）， $\vec{b}$ =（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），若存在不为零的实数k和角α，使向量 $\vec{c}$ = $\vec{a}$ +（sinα﹣3）• $\vec{b}$ ， $\vec{d}$ =﹣k $\vec{a}$ +（sinα） $\vec{b}$ ，且 $\vec{c}$ ⊥ $\vec{d}$ ，试求实数k的取值范围．

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23. 平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知 $\vec{D P}$ ⊥ $\vec{A C}$ ，且| $\vec{D P}$ |=2， $\vec{D M}$ = $\frac{1}{3}$ $\vec{D O}$ ， $\vec{O N}$ = $\frac{1}{3}$ $\vec{O C}$ ．设 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{M N}$ ；

(2)、求 $\vec{D P} \cdot \vec{D B}$ 的值．

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高中数学人教（A 2019）必修二 第六章 平面向量坐标运算

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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