高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大（小）值

试卷更新日期：2021-03-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 12 x ， x \in [- 3 ， 3]$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）

A、-9 B、-16 C、16 D、9

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2. 函数 $f (x) = \ln x^{2} - x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (a - 1) x - a \ln x$ 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， 2)$ B、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $[0 ， \frac{3}{2})$ D、 $(- 1 ， 0) \cup [\frac{3}{2} ， + \infty)$

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4. 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)（）．

A、无极大值点，有四个极小值点 B、有三个极大值点，两个极小值点 C、有两个极大值点，两个极小值点 D、有四个极大值点，无极小值点

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5. 函数 $f (x) = x + 2 \cos x$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的极大值点为（）

A、0 B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{2}$

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6. 已知 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} (a \neq 0)$ ，则（）

A、当 $a < 0$ 时， $f (x)$ 存在极小值 $f (a)$ B、当 $a < 0$ 时， $f (x)$ 存在极大值 $f (a)$ C、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 存在极小值 $f (a)$ D、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 存在极大值 $f (a)$

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7. 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x³﹣ax²﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）

A、2 B、3 C、6 D、9

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8. 若函数 $f (x) = - x^{3} + m x^{2} + 1 (m \neq 0)$ 在区间 $(0 ， 2)$ 上的极大值为最大值，则m的取值范围是（）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 0)$ C、 $(- \infty ， - 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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9. 若函数 $f (x) = a \sin x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 处有最大（小）值，则a等于（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、0

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二、多选题

10. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下面判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 3 ， 1)$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 在 $(1 ， 3)$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上是增函数 D、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取得极小值

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三、填空题

11. 函数f(x)＝x³－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是.

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12. 已知三次函数 $f (x) = m x^{3} + n x^{2} + p x + 2 q$ 的图象如图所示，则 $\frac{f^{'} (1)}{f^{'} (0)} =$ ．

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13. 已知不等式 $e^{x} - 1 \geq k x + \ln x$ ，对于任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则 $k$ 的最大值．

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14. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 1$ 的图象与函数 $g (x) = a$ 的图象有三个交点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 已知函数 $f （ x ） = x^{3} + 3 m x^{2} + n x + m^{2}$ 在 $x = - 1$ 处极值为0，则 $m =$ ， $n =$ ．

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四、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} - a \ln x$ ．
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ，求 $a$ 的值；

（Ⅱ）求函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， 4]$ 上的极值．

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17. 如图是函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.

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18. 某工厂加工一批零件，加工过程中会产生次品，根据经验可知，其次品率p与日产量x（万件）之间满足函数关系式 $p = {\begin{matrix} \frac{x}{6} ， 1 \leq x < 4 \\ \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x} + 1 ， x \geq 4 \end{matrix}$ ，已知每生产1万件合格品可获利2万元，但生产1万件次品将亏损1万元（次品率=次品数/生产量）

(1)、试写出加工这批零件的日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数；

(2)、当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少？

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19. 已知函数 $f (x) = a x + \ln x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，不等式 $x e^{x} + 1 > f (x) + m$ 对于任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x + m x^{2} + 1$ ， $m \in R$ .

(1)、当 $m = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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21. 已知函数 $f (x) = m x + n \sqrt{x}$ 的图象在 $x = \frac{1}{4}$ 处的切线方程为 $y = - \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a \ln x$ 在 $x \in (1 ， + \infty)$ 上有解，求 $a$ 的取值范围.

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