高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性

试卷更新日期：2021-03-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若函数 $y = f (x)$ 的导函数在区间 $[a ， b]$ 上是增函数，则函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知函数 $y = f (x) (x \in R)$ 满足 $f (2) = 1$ ，且 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) < 1$ ，则 $f (x) > x - 1$ 的解集为（）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | x < - 2 或 x > 2}$ D、 ${x | x > 2}$

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3. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图，函数 $y = f (x)$ 的一个单调递减区间是（）

A、 $(x_{1} ， x_{3})$ B、 $(x_{2} ， x_{4})$ C、 $(x_{4} ， x_{6})$ D、 $(x_{5} ， x_{6})$

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4. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导， $\forall x \in R$ ，有 $f (x) + f (- x) = x^{2}$ 且 $f (2) = 2$ ；对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，有 $f^{'} (x) > x$ 恒成立，则 $\frac{f (x)}{x^{2}} > \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$

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5. 已知 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且满足 $f (x) < - x f' (x)$ ，则不等式 $f (x + 1) > (x - 1)$ $f (x^{2} - 1)$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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6. 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是（）

A、y＝sin x B、y＝xe² C、y＝x³－x D、y＝ln x－x

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7. 函数 $f (x) = x^{2} \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(0 ， \sqrt{e})$ B、 $(\frac{\sqrt{e}}{e} ， + \infty)$ C、 $(\sqrt{e} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{e}}{e})$

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8. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x}{e^{x}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (- 1) = 2$ ，对任意 $x \in R$ ， $f^{'} (x) > 2$ ，则 $f (x) > 2 x + 4$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 9 \ln x + 3 x$ ，在其定义域内的子区间 $(m - 1 ， m + 1)$ 上不单调，则实数m的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $[1 ， \frac{3}{2})$ C、 $(1 ， \frac{5}{2})$ D、 $[1 ， \frac{5}{2})$

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二、填空题

11. 已知 $f (x)$ 满足 $f (4) = f (- 2) = 1 ， f^{'} (x)$ 为其导函数，且导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x) < 1$ 的解集是．

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12. 若 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + b \ln (x + 2)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上是减函数，则 $b$ 的取值范围是．

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13. 若函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + 3 x + 1$ 在区间 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

14. 求下列函数的单调区间．

(1)、 $f (x) = 3 x^{2} - 2 \ln x$ ；

(2)、 $f (x) = x^{2} \cdot e^{- x}$ ；

(3)、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - \frac{4}{3} \ln x$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的一个零点为 $x = 1$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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16. 试求函数 $f (x) = k x - \ln x$ 的单调区间．

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17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + (2 a - 3) x - 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- 1 ， 1)$ ，求实数a的值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 内单调递减，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = ln x - a x + \frac{1 - a}{x} - 1 (a \in R)$

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \leq \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + \ln (x + 1)$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{4}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上为减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} - (a + 2) x + 2$ （ $a$ 为常数）.

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x + 3 y = 0$ 垂直，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a > 0$ ，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $a$ 为正整数，函数 $f (x)$ 恰好有两个零点，求 $a$ 的值.

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