高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数

试卷更新日期：2021-03-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = ln (a x - 1)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (2) = 2$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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2. 函数 $y = {(2020 - 8 x)}^{3}$ 的导数 $y^{'} =$ （）

A、 $3 {(2020 - 8 x)}^{2}$ B、 $- 24 x$ C、 $- 24 {(2020 - 8 x)}^{2}$ D、 $24 {(2020 - 8 x)}^{2}$

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3. 若 $f (x) = e^{x} \ln 2 x$ ，则 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $e^{x} \ln 2 x + \frac{e^{x}}{2 x}$ B、 $e^{x} \ln 2 x - \frac{e^{x}}{x}$ C、 $e^{x} \ln 2 x + \frac{e^{x}}{x}$ D、 $2 e^{x} \cdot \frac{1}{x}$

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4. 已知在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可近似表示为 $y = f (t) = \sqrt{10 t}$ ，则在时刻 $t = 40 \min$ 的降雨强度（单位时间内的降雨量）为（）

A、20 mm B、400 mm C、 $\frac{1}{2}$ mm/min D、 $\frac{1}{4}$ mm/min

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5. 已知函数 $f (x) = 2 \ln (3 x) + 8 x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 - 2 Δ x) - f (1)}{Δ x}$ 的值为（）

A、10 B、-10 C、-20 D、20

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6. 设函数f（x）在（﹣∞，+∞）内的导函数为f'（x），若 $f (l n x) = \frac{x + 1}{x}$ ，则 $\frac{f (0)}{f' (0)} =$ （）

A、2 B、﹣2 C、1 D、 $e + 1$

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7. 已知直线y=x+1与曲线 $y = \ln (x + a)$ 相切，则a的值为（）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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8. 已知 $f (x) = \ln | x |$ ，则下列命题中，正确的命题是（）

A、当 $x > 0$ ， $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ，当 $x < 0$ ， $f^{'} (x) = - \frac{1}{x}$ B、当 $x > 0$ ， $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x)$ 无意义 C、当 $x \neq 0$ 时，都有 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ D、因为 $x = 0$ 时， $f (x)$ 无意义，所以对 $y = \ln | x |$ 不能求导.

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9. 已知 $f (x) = 1 + (1 + x) + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{n}$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、 $n$ B、 $n - 1$ C、 $\frac{n (n - 1)}{2}$ D、 $\frac{n (n + 1)}{2}$

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10. 定义方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“新驻点”，若函数 $g (x) = x^{2} + 1$ ， $h (x) = \ln (x + 2)$ ， $φ (x) = \cos x (x \in (0 ， π))$ 的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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二、多选题

11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，令 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ ，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 图象的对称轴方程为 $x = k π - \frac{π}{12} (k \in Z)$ B、函数 $g (x)$ 的最大值为2 C、函数 $g (x)$ 的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线 $l ： y = 3 x - 1$ 平行 D、方程 $g (x) = 2$ 的两个不同的解分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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三、填空题

12. 函数 $f (x) = \frac{\cos 2 x}{e^{x}}$ 的导函数 $f^{'} (x) =$ ．

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13. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = e^{- x - 2} - x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为．

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14. 已知 $y = \frac{x}{1 - \sqrt{1 - x}}$ ，则 $y^{'} =$ ．

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四、解答题

15. 求下列函数的导数．

(1)、 $y = \frac{x^{2}}{{(2 x + 1)}^{3}}$ ；

(2)、 $y = e^{- x} \sin 2 x$ ；

(3)、 $y = \ln \sqrt{2 x + 1} - 1$ ；

(4)、 $y = \cos (- 2 x) + 3^{2 x + 1}$ ．

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16. 设 $f (x) = a {(x - 5)}^{2} + 6 \ln x$ ，其中 $a \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $(0 ， 6)$ ，试确定 $a$ 的值．

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17. 已知函数 $f (x) = 3 x + \cos 2 x + \sin 2 x$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $a = f^{'} (\frac{π}{4})$ ，求过曲线 $y = x^{3}$ 上一点 $P (a ， b)$ 的切线方程．

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18. 设函数 $f (x) = a e^{x} \ln x + \frac{b e^{x - 1}}{x}$ ．

(1)、求导函数 $f^{'} (x)$ ；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = e (x - 1) + 2$ ，求a，b的值．

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