高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则

试卷更新日期：2021-03-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $y = x^{2} cos x$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = 2 x cos x - x^{2} sin x$ B、 $y^{'} = 2 x cos x + x^{2} sin x$ C、 $y^{'} = x^{2} cos x - 2 x sin x$ D、 $y^{'} = x cos x - x^{2} sin x$

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2. 对于函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} + \ln x - \frac{2 k}{x}$ ，若 $f^{'} (1) = 1$ ，则实数 $k$ 等于（）

A、 $\frac{e}{2}$ B、 $\frac{e}{3}$ C、 $- \frac{e}{2}$ D、 $- \frac{e}{3}$

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3. 已知 $f (x) = x^{2} + e^{x}$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、0 B、-4 C、-2 D、1

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4. 已知定义在R上的函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x + \sin x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 3 x - 2$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = 2 x - 1$ D、 $y = - 2 x + 3$

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5. 设函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x (a \neq 0)$ 在点 $x = 1$ 处的切线为 $l$ ，则 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、1 B、2 C、 $a e$ D、 $a e - 1$

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6. 设曲线 $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ 在点 $(1, - 2)$ 处的切线与直线 $a x + b y + c = 0$ 垂直，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、-3

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7. 已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且对任意的实数 $x$ 都有 $f^{'} (x) = e^{x} (2 x - 2) + f (x)$ （ $e$ 是自然对数的底数）， $f (0) = 1$ ，则（）

A、 $f (x) = e^{x} (x + 1)$ B、 $f (x) = e^{x} (x - 1)$ C、 $f (x) = e^{x} {(x + 1)}^{2}$ D、 $f (x) = e^{x} {(x - 1)}^{2}$

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8. 设函数 $y = x \sin x + \cos x$ 的图象在点 $(t ， f (t))$ 处切线的斜率为 $g (t)$ ，则函数 $y = g (t)$ 的图象一部分可以是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设函数 $f (x) =$ $\frac{\sin θ}{3} x^{3} + \frac{\sqrt{3} \cos θ}{2} x^{2} + \tan θ$ ，其中 $θ \in [0 ， \frac{5 π}{12}]$ ，则导数 $f^{'} (1)$ 的取值范围是（）

A、[－2， 2] B、 $[\sqrt{2} ， \sqrt{3}]$ C、[ $\sqrt{3}$ ，2] D、[ $\sqrt{2}$ ，2]

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10. $f (x)$ 与 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的两个可导函数，若 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 满足（）

A、 $f (x) =$ $g (x)$ B、 $f (x) -$ $g (x)$ 为常数函数 C、 $f (x) =$ $g (x) = 0$ D、 $f (x) +$ $g (x)$ 为常数函数

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二、多选题

11. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在 $D$ 上可导，即 $f^{'} (x)$ 存在，且导函数 $f^{'} (x)$ 在 $D$ 上也可导，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上存在二阶导函数，记 $f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{'}$ ，若 $f^{″} (x) < 0$ 在 $D$ 上恒成立，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数．以下四个函数在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上不是凸函数的是（）

A、 $f (x) = \sin x - \cos x$ B、 $f (x) = \ln x - 2 x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ D、 $f (x) = x e^{x}$

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三、填空题

12. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，现给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x)$ =0有实数解 $x_{0}$ ，则称点( $x_{0}$ ， $f (x_{0})$ )为函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 $g (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，则 $g (\frac{1}{100}) + g (\frac{2}{100}) + \dots + g (\frac{99}{100}) =$ .

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13. 在曲线 $y = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 10$ 的所有切线中，斜率最小的切线方程是．

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四、解答题

14. 已知函数 $f (x) = x - 2 \ln x$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线方程．

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15. 已知函数f(x)＝ $\frac{1}{3}$ x³－2x²＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)、求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)、若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

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16. 已知函数f(x)，x $\in$ (0，+ $\infty$ )的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $x f^{'} (x) - 2 f (x) = x^{3} e^{x}$ ，f(1)=e-1，求f(x)在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程.

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