高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义

试卷更新日期：2021-03-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数f(x)在x＝x₀处的导数可表示为（）

A、f′(x₀)＝ $\lim_{△ x \to 0} \frac{f (x_{0} + △ x) - f (x_{0})}{△ x}$ B、f′(x₀)＝ $\lim_{△ x \to 0} [f (x_{0} + △ x) - f (x_{0})]$ C、f′(x₀)＝f(x₀＋Δx)－f(x₀) D、f′(x₀)＝ $\frac{f (x_{0} + △ x) - f (x_{0})}{△ x}$

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2. 已知曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 5$ 处的切线方程是 $y = - x + 5$ ，则 $f$ (5)与 $f^{'}$ (5)分别为（）

A、3，3 B、3，-1 C、-1，3 D、0，-1

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3. 函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数 $f^{'} (x_{0})$ 的几何意义是（）

A、在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处与 $y = f (x)$ 的图象只有一个交点的直线的斜率 B、过点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 的切线的斜率 C、点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 与点 $(0 ， 0)$ 的连线的斜率 D、函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线的斜率

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4. 某司机看见前方 $50 m$ 处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，函数的图象在P点处的切线方程是 $y = - x + 8$ ，若点 $P$ 的横坐标是5，则 $f (5) + f' (5) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、0

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6. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有导函数， $f (x)$ 图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A、 $f^{'} (a) < f^{'} (b) < f^{'} (c)$ B、 $f^{'} (b) < f^{'} (c) < f^{'} (a)$ C、 $f^{'} (a) < f^{'} (c) < f^{'} (b)$ D、 $f^{'} (c) < f^{'} (a) < f^{'} (b)$

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7. 曲线 $f (x) = x^{3} + x - 2$ 在 $P_{0}$ 处的切线平行于直线 $y = 4 x - 1$ ，则 $P_{0}$ 点的坐标为（）

A、(1， 0) B、(2， 8) C、(1， 0)和(-1， -4) D、(2， 8)和(-1， -4)

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8. 若曲线 $y = \sqrt{x}$ 的一条切线经过点 $(8 ， 3)$ ，则此切线的斜率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ 或 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{4}$

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9. 函数 $f (x) = a x^{2} + b x (a > 0, b > 0)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为 $2$ ，则 $\frac{8 a + b}{a b}$ 的最小值是（）

A、10 B、9 C、8 D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 甲、乙两厂污水的排放量W与时间 $t$ 的关系如图所示，则治污效果较好的是（）

A、甲厂 B、乙厂 C、两厂一样 D、不确定

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11. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在a到b之间的平均变化率大于 $g (x)$ 在a到b之间的平均变化率 B、 $f (x)$ 在a到b之间的平均变化率小于 $g (x)$ 在a到b之间的平均变化率 C、对于任意 $x_{0} \in (a ， b)$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的瞬时变化率总大于函数 $g (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的瞬时变化率 D、存在 $x_{0} \in (a ， b)$ ，使得函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的瞬时变化率小于函数 $g (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的瞬时变化率

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12. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）

A、 $0 < f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ C、 $0 < f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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二、多选题

13. 已知曲线 $y = x^{3} - x + 1$ 在点P处的切线平行于直线 $y = 2 x$ ，那么点P的坐标为（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(0 ， 1)$

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14. 下列命题正确的是（）

A、若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处无切线 B、函数 $y = f (x)$ 的切线与函数的图象可以有两个公共点 C、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $2 x - y = 0$ ，则当 $Δ x \to 0$ 时， $\frac{f (1) - f (1 + Δ x)}{2 Δ x} = 1$ D、若函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x) = x^{2} - 2$ ，且 $f (1) = 2$ ，则 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x + y - 3 = 0$

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三、填空题

15. 对于函数 $f (x) = a x + 4$ ，若 $f^{'} (1) = 2$ ，则a＝

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16. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ，则 $f (1) + 2 f^{'} (1)$ 的值为.

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17. 若抛物线 $y = 2 x^{2} + 1$ 与直线 $4 x - y + m = 0$ 相切，则 $m =$ ．

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18. 与直线 $2 x - y + 4 = 0$ 平行且与抛物线 $y = x^{2}$ 相切的直线方程是．

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四、解答题

19. 试求过点 $M (1 ， 1)$ 且与曲线 $y = x^{3} + 1$ 相切的直线方程．

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20. 服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位：μg/mL）是时间t（单位：min）的函数 $y = f (t)$ ，假设函数 $y = f (t)$ 在 $t = 10$ 和 $t = 100$ 处的导数分别为 $f^{'} (10) = 1.5$ 和 $f^{'} (100) = - 0.6$ ，试解释它们的实际意义．

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21. 设A，B为曲线C： $y = \frac{x^{2}}{4}$ 上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)、求直线AB的斜率；

(2)、设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1 (a > 0)$ ， $g (x) = x^{3} + b x$ .
若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点 $(1 ， c)$ 处必具有公共切线，求a，b的值.

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