高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4数学归纳法

试卷更新日期：2021-03-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + (2 n - 1) + 2 n = 2 n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，当 $n = k + 1 (k \in N^{*})$ 时，等式左边应在 $n = k$ 时的基础上加的项是（）

A、 $2 k + 1$ B、 $2 k + 2$ C、 $(2 k + 1) + (2 k + 2)$ D、1

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2. 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{*} ， n > 1)$ 时，第一步应验证的不等式是（）

A、 $1 + \frac{1}{2} < 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 3$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} < 4$

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3. 用数学归纳法证明“ $2^{n} > n^{2} + 1$ 对于 $n \geq n_{0}$ 的正整数 $n$ 成立”时，第一步证明中的起始值 $n_{0}$ 应取（）

A、1 B、2 C、3 D、5

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4. 平面内有 $n$ 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用 $f (n)$ 表示这 $n$ 个圆把平面分割的区域数，那么 $f (n + 1)$ 与 $f (n)$ 之间的关系为（）

A、 $f (n + 1) = f (n) + n$ B、 $f (n + 1) = f (n) + 2 n$ C、 $f (n + 1) = f (n) + n + 1$ D、 $f (n + 1) = f (n) + n - 1$

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5. 用数学归纳法证明“ $1 + 2 + 3 + \dots + n^{3} = \frac{n^{5} + n^{3}}{2} ， n \in N^{*}$ ”，则当 $n = k + 1$ 时，应当在 $n = k$ 时对应的等式的左边加上（）

A、 $k^{3} + 1$ B、 ${(k + 1)}^{3}$ C、 $(k^{3} + 1) + (k^{3} + 2) + \dots + {(k + 1)}^{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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6. 用数学归纳法证明“ $5^{n} - 2^{n} (n \in N^{*})$ 能被 $3$ 整除”的过程中， $n = k + 1$ 时，为了使用假设，应将 $5^{k + 1} - 2^{k + 1}$ 变形为（）

A、 $5 (5^{k} - 2^{k}) + 3 \times 2^{k}$ B、 $(5^{k} - 2^{k}) + 4 \times 5^{k} - 2^{k}$ C、 $(5 - 2) (5^{k} - 2^{k})$ D、 $2 (5^{k} - 2^{k}) - 3 \times 5^{k}$

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7. 对于不等式 $\sqrt{n^{2} + n} < n + 1 (n \in N^{*})$ ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
（1）当 $n = 1$ 时， $\sqrt{1^{2} + 1} < 1 + 1$ ，不等式成立.（2）假设当 $n = k (k \in N^{*})$ 时，不等式 $\sqrt{k^{2} + k} < k + 1$ 成立，当 $n = k + 1$ 时 $\sqrt{{(k + 1)}^{2} + k + 1} = \sqrt{k^{2} + 3 k + 2} < \sqrt{(k^{2} + 3 k + 2) + (k + 2)} = \sqrt{{(k + 2)}^{2}} = (k + 1) + 1$ .
$∴$ 当 $n = k + 1$ 时，不等式成立，则上述证法（）

A、过程全部正确 B、 $n = 1$ 验得不正确 C、归纳假设不正确 D、从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 的推理不正确

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二、填空题

8. 一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为．

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9. 已知 $f (n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} (n \in N^{*})$ ，用数学归纳法证明 $f (2^{n}) > \frac{n + 1}{2}$ 时， $f (2^{k + 1}) - f (2^{k}) =$ ．

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三、解答题

10. 用数学归纳法证明： $1 + 2 + 3 + \dots + (n + 3) = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} (n \in N^{*})$

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11. 已知数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2 n$ ，求证：对任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式 $\frac{b_{1} + 1}{b_{1}} \cdot \frac{b_{2} + 1}{b_{2}} \dots \dots \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} > \sqrt{n + 1}$ 都成立．

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $S_{n} = 2 n - a_{n} (n \in$ $N^{*}$ ）.

(1)、计算 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ ，并由此猜想通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、用数学归纳法证明（1）中的猜想.

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13. 在正整数集上定义函数 $y = f (n)$ ，满足 $f (n) [f (n + 1) + 1] = 2 [2 - f (n + 1)]$ ，且 $f (1) = 2$ .

(1)、求证： $f (3) - f (2) = \frac{9}{10}$ ；

(2)、是否存在实数a，b，使 $f (n) = \frac{1}{a {(- \frac{3}{2})}^{n} - b} + 1$ ，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论.

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14. 观察下列等式：
$1 = 1$

$2 + 3 + 4 = 9$

$3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25$

$4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49$

．．．．．．

按照以上式子的规律：

(1)、写出第5个等式，并猜想第 $n (n \in N^{*})$ 个等式；

(2)、用数学归纳法证明上述所猜想的第 $n (n \in N^{*})$ 个等式成立．

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