高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式

试卷更新日期：2021-03-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{5}$ 等于（）

A、32 B、48 C、62 D、93

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2. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ B、 $S_{n} = 1 - 2 a_{n}$ C、 $S_{n} = a_{n} - 2$ D、 $S_{n} = 2 - a_{n}$

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3. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ．若S₂=3，S₄=15，则S₆=（）

A、31 B、32 C、63 D、64

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4. 《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n天，该木锤剩余的长度为 $a_{n}$ （尺），则 $a_{n}$ 与n的关系为（）

A、 $a_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n - 1}}$ B、 $a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ C、 $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ D、 $a_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$

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5. 一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} = 3^{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $9$ 项和 $S_{9} =$ （）

A、160 B、241 C、243 D、484

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7. 我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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8. 设数列 ${{(- 1)}^{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{n [{(- 1)}^{n} - 1]}{2}$ B、 $\frac{{(- 1)}^{n + 1} + 1}{2}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n} + 1}{2}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n} - 1}{2}$

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9. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{20} = (2^{10} + 1) S_{10}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} - a_{1} = 78$ ， $S_{3} = 39$ ，设 $b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，那么数列 ${b_{n}}$ 的前10项和为（）

A、 $\log_{3} 71$ B、 $\frac{69}{2}$ C、50 D、55

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二、填空题

11. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前n项和，若 $S_{n} = 3 \cdot 2^{n} + a$ ，则 $a =$ ．

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12. 各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中, $a_{1} = 1, a_{2} + a_{3} = 6$ ,则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ .

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13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为2， $S_{99} =77$ ，则 $a_{3} + a_{6} + a_{9} + \dots + a_{99} =$ .

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} - a_{3} = 3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{1}$ ， $S_{3}$ ， $S_{2}$ 成等差数列，则 $S_{n}$ 的最大值为.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比 $q = \frac{1}{2}$ ， $a_{2} a_{4} = 2 a_{5}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前5项和 $S_{5} =$

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三、解答题

16. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} - a_{1} = 2$ ，且 $2 a_{2}$ 为 $3 a_{1}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项，求数列 ${a_{n}}$ 的首项、公比及其前 $n$ 项和.

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17. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 20$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $2$ ,且 $a_{3}$ , $a_{4} + 4$ , $a_{5}$ 成等差数列.
(Ⅰ)求 ${a_{n}}$ 的通项公式;

(Ⅱ)设 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{n} = 62$ ,求 $n$ 的值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足a₁=b₁=1，a₂+a₄=10，b₂b₄=a₅ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求和： $b_{1} + b_{3} + b_{5} + \dots + b_{2 n - 1}$ ．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，满足 $a_{1} = - 1$ ， $a_{5} = 3$ ，数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $b_{2} - 2 a_{2} = 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 已知 $u_{n} = a^{n} + a^{n - 1} b + a^{n - 2} b^{2} + \dots + a b^{n - 1} + b^{n} (a > 0, b > 0, n \in N^{*})$ .

(1)、当 $a = 2$ ， $b = 3$ 时，求 $u_{n}$ 所表示的和；

(2)、若 $a = b$ ，求数列 ${u_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为2， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $S_{n + 1} = q S_{n} + 2 (q > 0, n \in N *)$

(1)、若 $a_{4}$ ， $a_{5}$ ， $a_{4} + a_{5}$ 成等差数列，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{a_{n}^{2}} = 1$ 的离心率为 $e_{n}$ ，且 $e_{2} = 3$ ，求 $e_{1}^{2} + 2 e_{2}^{2} + 3 e_{3}^{2} + \dots + n e_{n}^{2}$ .

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