高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念

试卷更新日期：2021-03-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 给出下列命题：
①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；②数列 $a, a - 1, a - 2, a - 3$ 是公差为-1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成 $a_{n} = k n + b$ 的形式(k，b为常数)；④数列 ${2 n + 1} (n \in N^{*})$ 是等差数列.

其中正确命题的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③④ D、③④

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2. 在 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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3. 若 $a = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} ， b = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ，则a，b的等差中项为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 在数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2,$ n∈N*，则 $a_{25}$ 的值为（）

A、49 B、50 C、89 D、99

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5. 在等差数列{a_n}中，若a₃＋a₄＋a₅＋a₆＋a₇＝450，则a₂＋a₈的值等于(　　)

A、45 B、75 C、300 D、180

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6. 在单调递增的等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} = 1 ， a_{2} a_{4} = \frac{3}{4}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、－1 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{4}$

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7. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{6} = 3$ ， $a_{3} + a_{7} = 7$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，且 $a_{3} + a_{6} + a_{10} + a_{13} = 32,$ 若 $a_{m} = 8$ ，则 $m =$ （）.

A、8 B、4 C、6 D、12

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9. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且对任意大于1的正整数 $n$ ，点( $\sqrt{a_{n}}, \sqrt{a_{n - 1}}$ )在直线 $x - y - \sqrt{3} = 0$ 上，则（）

A、 $a_{n} = 3 n$ B、 $a_{n} = \sqrt{3 n}$ C、 $a_{n} = n - \sqrt{3}$ D、 $a_{n} = 3 n^{2}$

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10. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（　　）

A、-2 B、-3 C、-4 D、-5

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二、多选题

11. 已知单调递增的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{101} = 0$ ，则下列各式一定成立的有（）

A、 $a_{1} + a_{101} > 0$ B、 $a_{2} + a_{100} = 0$ C、 $a_{3} + a_{100} \leq 0$ D、 $a_{51} = 0$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} (S_{n} \neq 0)$ ，且满足 $a_{n} + 4 S_{n - 1} S_{n} = 0 (n \geq 2), a_{1} = \frac{1}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = \frac{1}{4 n}$ B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{4 n (n + 1)}$ C、数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 为递增数列

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} =15$ ，且 $3 a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2$ ，若 $a_{k} a_{k + 1} < 0$ ，则正整数k=.

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14. 设数列{a_n}，{b_n}都是等差数列，若a₁+b₁=7，a₃+b₃=21，则a₅+b₅= ．

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15. 在-3和6之间插入两个数 $a$ ， $b$ ，使这四个数成等差数列，则公差为.

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16. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，且a₁=3， a₂+a₅= 36，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为

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17. 已知各项都为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = 3$ ，则 $a_{3} a_{7}$ 的最大值为.

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四、解答题

18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{6 a_{n} - 4}{a_{n} + 2}$ ，且 $a_{1} = 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n} - 2}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n}^{2} = (2 n - 1) a_{n} + 2 n$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列;

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n} - \sqrt{40}}{n - \sqrt{11}}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 的最大项为 $b_{p}$ ，最小项为 $b_{q}$ ，求 $p + q$ 的值.

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20. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = (n^{2} + n - λ) a_{n} (n \in N^{*})$ ， $λ$ 是常数.

(1)、当 $a_{2} = - 1$ 时，求 $λ$ 及 $a_{3}$ 的值；

(2)、判断是否存在实数 $λ$ 使得数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，并说明理由.

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21. 已知无穷等差数列 ${a_{n}}$ ，首项 $a_{1} = 3$ ，公差 $d = - 5$ ，依次取出项数能被4除余3的项组成数列 ${b_{n}}$ .

(1)、求 $b_{1}$ 和 $b_{2}$ ；

(2)、求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、 ${b_{n}}$ 中的第503项是 ${a_{n}}$ 中的第几项？

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22. 首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d (d \in N^{*})$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 满足下列两个条件：
① $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 93$ ；

②满足 $a_{n} > 100$ 的 $n$ 的最小值是15.

试求公差 $d$ 和首项 $a_{1}$ 的值.

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