高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1数列的概念

试卷更新日期：2021-03-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列说法正确的是（）

A、数列1，3，5，7可以表示为 ${1, 3, 5, 7}$ B、数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列 C、数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点 D、数列的项数一定是无限的

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2. 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）

A、 $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3^{2}}, \frac{1}{3^{3}},$ … B、 $\sin \frac{π}{13}, \sin \frac{2 π}{13}, \sin \frac{3 π}{13}, \sin \frac{4 π}{13},$ … C、 $- 1, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{4},$ … D、 $1, 2, 3, 4, \dots, 30$

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3. 已知数列的通项公式是 $a_{n} = {\begin{array}{l} 3 n + 1 (n 是奇数) \\ 2 n - 2 (n 是偶数) \end{array}$ ，则 $a_{2} \cdot a_{3}$ 等于（）

A、70 B、28 C、20 D、8

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4. 已知数列 $1 ， \sqrt{3} ， \sqrt{5} ， \sqrt{7} ， \dots ， \sqrt{2n-1}$ ，则 $3 \sqrt{5}$ 是这个数列的第（）项

A、20 B、21 C、22 D、23

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5. 已知 $a_{n + 1} - a_{n} - 3 = 0$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是（）

A、递增数列 B、递减数列 C、常数列 D、不能确定

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6. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2021}$ 的值为（）

A、2 B、-3 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）

A、 $a_{n + 1} = a_{n} + n ， n \in N^{*}$ B、 $a_{n} = a_{n - 1} + n ， n \in N^{*} ， n \geq 2$ C、 $a_{n + 1} = a_{n} + (n + 1) ， n \in N^{*} ， n \geq 2$ D、 $a_{n} = a_{n - 1} + (n - 1) ， n \in N^{*} ， n \geq 2$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - n (n \in N^{*})$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、6 B、8 C、12 D、20

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}$ ， $S_{n} = 10$ ，则 $n =$ （）

A、90 B、119 C、120 D、121

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n} = 1 - 5 + 9 - 13 + 17 - 2 + \dots + {(- 1)}^{n - 1} (4 n - 3)$ ，则 $S_{15} + S_{22} - S_{31}$ 的值（）

A、13 B、-76 C、46 D、76

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11. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n}$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、1024 B、1023 C、510 D、511

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} < \frac{a_{n} + a_{n + 2}}{2}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{9} = 9$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为单调递减数列，且 $a_{5} > 1$ B、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为单调递增数列，且 $a_{5} > 1$ C、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为单调递减数列，且 $a_{5} < 1$ D、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为单调递增数列，且 $a_{5} < 1$

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} = \frac{2020 - 2^{n}}{2021 - 2^{n}}$ ，且存在正整数T，S使得 $a_{T} \leq a_{n} \leq a_{S}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则 $T + S$ 的值为（）

A、15 B、17 C、19 D、21

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二、多选题

14. 下列四个命题中，正确的有（）

A、数列 ${\frac{n + 1}{n}}$ 的第 $k$ 项为 $1 + \frac{1}{k}$ B、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - n - 50 ， n \in N^{*}$ ，则-8是该数列的第7项 C、数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为 $a_{n} = 2^{n} - 1$ D、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n}{n + 1}, n \in N^{*}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是递增数列

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三、填空题

15. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $(n - 1) a_{n} = (n + 1) a_{n - 1} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{100} =$ ．

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16. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2,$ $a_{n + 1} = a_{n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ ．

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17. 若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} + a_{n + 1} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的前99项之和为 $3 \sqrt{11}$ ，则 $a_{100} =$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 33 ， a_{n + 1} - a_{n} = 2 n ，$ 则 $\frac{a_{n}}{n}$ 的最小值为.

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四、解答题

19. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 2 n (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{a_{n}}{2 n + 3}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{2}{3}$ ．

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