浙江省绍兴市上虞区2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知二次函数 $y = a x^{2} + 4 x - c$ ，当 $x = 1$ 时，函数值是－5，则下列关于 $a$ ， $c$ 的关系式中，正确的是（）

A、 $a + c = - 1$ B、 $a + c = - 9$ C、 $a - c = - 9$ D、 $a - c = - 1$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E // B C$ ，则下列比例式一定正确的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A D}{D B}$ B、 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ C、 $\frac{A D}{E C} = \frac{A E}{D B}$ D、 $\frac{D E}{B C} = \frac{E C}{A C}$

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3. 下列各事件中，是随机事件的是（）

A、 $a$ 是实数，则 $| a | \geq 0$ . B、某运动员跳高的最好成绩是10.1m. C、从装有多个白球的箱子里取出2个红球. D、从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品.

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4. 如图，已知 $△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C$ ，则图中角度 $α$ 和边长 $x$ 分别为（）

A、40°，9 B、40°，6 C、30°9 D、30°，6

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5. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 $y$ （单位： $m^{3}$ ）与旋钮的旋转角度 $x$ （单位：度）（ $0^{\circ} < x \leq 90^{\circ}$ ）近似满足函数关系y=ax²+bx+c（a≠0）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度 $x$ 与燃气量 $y$ 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

A、 $18^{\circ}$ B、 $36^{\circ}$ C、 $41^{\circ}$ D、 $58^{\circ}$

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为（－1， 0），则关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - 2 a x + c = 0$ 的两实数根是（）

A、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 1$ B、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 2$ C、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 0$

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7. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上.若 $∠ C A B = 36 °$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、72° B、54° C、45° D、36°

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8. 我们把宽与长的比值等于黄金比例 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形 $A B C D$ （ $A B > B C$ ）的边 $A B$ 上取一点 $E$ ，使得 $B E = B C$ ，连接 $D E$ ，则 $\frac{A E}{A D}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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9. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E$ 是正方形内部一点，连接 $E A$ ， $E B$ 满足 $∠ E A B = ∠ E B C$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边上一动点，连结 $P D$ ， $P E$ .则 $P D + P E$ 长度的最小值为（）

A、 $\sqrt{13} - 1$ B、 $2 \sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{15} - 1$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A B$ 上的点， $E$ 是边 $A C$ 上的点，且 $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{m}$ ， $\frac{C E}{A E} = \frac{1}{n}$ ，若 $△ B C F$ 的面积为1，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{m n + n + 1}{n}$ B、 $\frac{m n + m + 1}{n}$ C、 $\frac{m n + n + 1}{m}$ D、 $\frac{m n + m + 1}{m}$

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二、填空题

11. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{b - a}{b + a} =$ .

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12. 一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则摸出2个红球的概率是.

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13. 在由边长为1的小正方形所组成的网格中， $△ A B C$ 如图放置，则 $\sin A =$ .

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14. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $O$ 是该三角形边上一点，且 $O B = 1$ ，以 $O$ 为圆心，1为半径作圆，点 $P$ 是这个圆上的一动点，连接 $A P$ ，则线段 $A P$ 的最大值为.

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15. 已知自变量为 $x$ 的二次函数 $y = (a x + m) (x + \frac{3}{m})$ 经过 $(t ， 3)$ 、 $(t - 4 ， 3)$ 两点，若方程 $(a x + m) (x + \frac{3}{m}) = 0$ 的一个根为 $x = 1$ ，则其另一个根为.

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ D C B = 60 °$ ， $A B + B C = 4$ ，则 $A C$ 的长是 .

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三、解答题

17.

(1)、计算： $4 \sin^{2} 60 ° + \tan 45 ° - 8 \cos^{2} 30 °$

(2)、将 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线解析式.

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18. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四张卡片上分别写有 $- 2 ， \sqrt{3} ， - \frac{5}{7} ， π$ 四个实数，从中任取两张卡片.

(1)、用适当的方法列举出所有可能的结果（用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示）

(2)、求取到卡片上的两个数都是无理数的概率.

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19. 如图， $⊙ O$ 的半径为2， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $O$ 到弦 $A B$ 的距离为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求弦 $A B$ 的长；

(2)、若点C在 $⊙ O$ 上（点C不与A，B重合），求 $∠ A C B$ 的度数.

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20. 如图，三个景点A，B，C之间各建有笔直的健身小道.经测量，景点B在景点A的正东方向，景点C在景点A北偏东60°的方向上，同时也在景点B北偏东45°的方向上，已知 $B C = 4 \sqrt{2} km$ .“运动达人”小敏从景点C出发，沿着 $C - B - A - C$ 的路径健步走到景点B，景点A，再回到景点C.

求：

(1)、景点A，B间的距离；

(2)、小敏健步走的总路程.

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21. 现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场.

(1)、如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使 $B C // A D$ ， $∠ C = 90 °$ .新建围墙为BCD.怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？

(2)、爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大.聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由.

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 4$ ， $P$ 是 $A B$ 延长线上一点，且 $B P = 1$ ，过点 $P$ 作一直线，分别交 $⊙ O$ 于C，D两点，已知 $∠ P = 30 °$ .

(1)、求CD与PC的长；

(2)、连结BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积.

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ C$ 的半径为 $r$ ，给出如下定义：若点 $P$ 的横、纵坐标均为整数，且到圆心 $C$ 的距离 $d \leq r$ ，则称点 $P$ 为 $⊙ C$ 的“圈内整点”.

(1)、当 $⊙ O$ 的半径 $r = 2$ 时，在点 $D (- 2 ， 2)$ ， $E (1 ， 0)$ ， $F (0 ， - 2)$ ， $G (1 ， - 2)$ 中，属于 $⊙ O$ “圈内整点”的是；

(2)、若直线 $y = x + 3$ 上存在 $⊙ O$ 的“圈内整点”，且不超过8个，求 $⊙ O$ 半径 $r$ 的取值范围；

(3)、 $⊙ T$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为2，若直线 $y = x + 3$ 上存在 $⊙ T$ 的“圈内整点”，求圆心 $T$ 横坐标 $t$ 的取值范围.

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24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 8 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ D$ ，交 $y$ 轴的正半轴于点C，连结AC、BC，过A、B、C三点作抛物线.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点F是BC延长线上一点， $∠ A C F$ 的平分线CE交 $⊙ D$ 于点E，求点E的坐标；

(3)、在（2）的条件下，连结AE，在 $⊙ D$ 上是否存在点P，使得 $∠ P E A = ∠ C A E$ ？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

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