浙江省宁波市海曙区2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(- 1, - 2)$

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2. 在同一时刻，身高1.8米的小强在阳光下的影长为0.9米，一棵大树的影长为4.6米，则树的高度为（）

A、9.8米 B、9.2米 C、8.2米 D、2.3米

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3. 如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（）

A、76° B、56° C、54° D、52°

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4. 下列事件中是必然事件的有（）

A、抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上 B、三角形内心到三边距离相等 C、测量宁波某天的最低气温，结果为 $- 80^{°} C$ D、某个数的绝对值大于0

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5. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　）

A、tan70°＜cos70°＜sin70° B、cos70°＜tan70°＜sin70° C、sin70°＜cos70°＜tan70° D、cos70°＜sin70°＜tan70°

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6. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是（）

A、 $\frac{5}{2} < r < 4$ B、 $\frac{5}{2} < r < 3$ C、 $r > 3$ D、 $3 < r < 4$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90^{°}$ ， $A B = A C = 2$ .以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的周长是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4} + 2$ C、 $\frac{π}{2} + 2$ D、 $1 - \frac{π}{4}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，P是AB边上一动点， $P D ⊥ A C$ 于点D，点E在P的右侧，且 $P E = 1$ ，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，设 $P D = x$ ，图中阴影部分面积 $S_{1} + S_{2} = y$ ，在整个运动过程中，函数值y随x的变化而变化的情况是（）

A、一直减小 B、一直增大 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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10. 一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大两个三角形纸片按图2中①、②两种方式放置，设①中的阴影部分面积为 $S_{1}$ ，②中的阴影部分面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{2} = S_{1}$ 时，则矩形的长短两边之比为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $B C = 5$ ，则 $\tan A$ 的值为.

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12. 小莉抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为.

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13. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为cm.

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14. 已知二次函数

y = x^{2} + b x + c

中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

x	…	$- 1$	0	1	2	3	4	…
y	…	10	5	2	1	2	5	…

$A (m - 4, y_{1})$ ， $B (m + 6, y_{2})$ 两点都在该函数的图象上，若 $y_{1} = y_{2}$ ，则m的值为.

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线 $y = \frac{3}{4} x - 6$ 与x轴、y轴分别交于点D、E，则 $△ C D E$ 面积的最小值为.

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16. 如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点， $G F = \frac{1}{3} A B = 2$ ， $∠ G C H = 60^{°}$ .则线段EH长.

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三、解答题

17. 计算： $3 \tan 30^{°} + \cos^{2} 45^{°} - 2 \sin 60^{°}$ .

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18. 在 $5 \times 5$ 的方格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图

(1)、在图1的方格中作出与 $△ A B C$ 相似的最小格点三角形.

(2)、在图2中把线段AC分成三条相等的线段 $A E = E F = F C$ ，点E，F都在线段AC上.
（①只能用无刻度的直尺作直线；②保留作图痕迹）

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19. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $C_{1}$ ： $y = {(x - 1)}^{2} - 1$ 向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线 $C_{2}$ .

(1)、求新抛物线 $C_{2}$ 的表达式；

(2)、如图，将 $△ O A B$ 沿x轴向左平移得到 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ ，点 $A (0 ， 5)$ 的对应点 $A^{'}$ 落在平移后的新抛物线 $C_{2}$ 上，求点B与其对应点 $B^{'}$ 的距离.

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20. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，已知托板长 $A B = 120 mm$ ，支撑板长 $C D = 40 \sqrt{3} mm$ ，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且 $C B = 40 mm$ ，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.

(1)、若 $∠ D C B = 90^{°}$ ， $∠ C D E = 60^{°}$ ，求点A到直线DE的距离；

(2)、为了观看舒适，保持 $∠ D C B = 90^{°}$ ，在（1）的情况下，将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度.

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21. 在抗击新冠疫情期间，某校数学兴趣小组调查了某天上午10分钟内进入校门口的累积人数变化情况，结果如下表：

时间x（分钟）

0

2

4

6

8

10

累计人数y（人）

0

360

640

840

960

1000

(1)、请用适当的函数描述这10分钟内进入校门口人数的变化规律，写出y与x之间的函数解析式；

(2)、如果学生一进入校门口后就开始排队测体温，若有6个测温组，每个测温组每分钟测温20人，设第x分钟时的排队人数为w，问第几分钟时等候测温排队总人数最多，最多有几人？

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22. 生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格（如图②），通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息.

(1)、用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）

(2)、图④为 $2 \times 2$ 的网格图，它可表示不同信息的总个数为；

(3)、某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用 $n \times n$ 的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共506人，则n的最小值为.

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23. 已知 $△ A B C$ 内接于⊙O， $A B = A C$ ， $∠ A B C$ 的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记 $∠ B A C = α$ .

(1)、如图1，若 $α = 60^{°}$ ，
①直接写出 $\frac{D F}{A F}$ 的值为；

②当⊙O的半径为4时，直接写出图中阴影部分的面积为；

(2)、如图2，若 $α < 60^{°}$ ， $\frac{D F}{D C} = \frac{2}{3}$ ， $D E = 6$ ，求DC的长.

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24. 定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形.

(1)、已知 $∠ A = 120^{°}$ ， $∠ B = 50^{°}$ ， $∠ C = α$ ，请直接写出一个 $α$ 的值，使四边形ABCD为幸福四边形；

(2)、如图1， $△ A B C$ 中，D，E分别是边AB，AC上的点， $A E = D E$ .求证：四边形DBCE为幸福四边形；

(3)、在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作⊙O，与边AB交于另一点F，与边BC交于点G，且 $B F = F C$ .
①求证：EG是⊙O的直径；

②连结FG，若 $A E = 1$ ， $B G = 7$ ， $∠ B G F - ∠ B = 45^{°}$ ，求EG的长和幸福四边形DBCE的周长.

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时间x（分钟）	0	2	4	6	8	10
累计人数y（人）	0	360	640	840	960	1000