浙江省杭州市上城区2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、小明买彩票中奖 B、在—个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球 C、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D、任选三角形的两边，其差小于第三边

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2. 下列各式中正确的是（）

A、 $\tan 45^{°} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\cos 45^{°} = 1$ C、 $\sin 30^{°} = \frac{1}{2}$ D、 $\tan 60^{°} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 已知圆内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ A : ∠ C = 1 : 2$ ，则 $∠ A =$ （）

A、 $50^{°}$ B、 $60^{°}$ C、 $100^{°}$ D、 $\begin{array}{l} 120^{°} \end{array}$

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4. 下列关于相似三角形的说法，正确的是（）

A、等腰三角形都相似 B、直角三角形都相似 C、两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似 D、一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似

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5. 已知二次函数的图象过点 $P (1, 4)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，则这个函数图象必过点（）

A、 $(- 1, 4)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(3, 4)$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，作 $D E / / B C$ ，分别交 $A B ， A C$ 于点 $D ， E$ .若要使 $△ A D E$ 与四边形 $D B C E$ 的面积相等，则 $A D$ 与 $A B$ 的比为（）

A、 $1 ： \sqrt{2}$ B、 $1 ： 2$ C、 $2 ： 3$ D、 $\sqrt{2} ： \sqrt{3}$

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7. 下列函数图象经过变换后，过原点的是（）

A、 $y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 2$ 向右平移3个单位 B、 $y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 2$ 向左平移3个单位 C、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 1$ 向上平移1个单位 D、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 1$ 关于x轴作轴对称变换

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8. 如图，点 $C 、 D 、 E 、 F 、 G$ 均在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上，其中 $∠ A G C = 20^{°} ，$ $∠ B F E = 10^{°}$ ，则 $∠ C D E =$ （）

A、 $115^{°}$ B、 $120^{°}$ C、 $135^{°}$ D、 $150^{°}$

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9. 已知 $M (b, m)$ 和 $N (b + 1, n)$ 是二次函数 $y = x^{2} - b x + c$ （其中 $b, c$ 是常数）上不同的两点，则判断m和n的大小关系正确的是（）

A、 $b > 0$ 时， $m > n$ B、 $b < 0$ 时， $m < n$ C、 $b > - 1$ 时， $m < n$ D、 $b < 1$ 时， $m > n$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $A C ⊥ B D$ 于点E，若 $A D$ 的长与 $⊙ O$ 的半径相等，则下列等式正确的是（）

A、 $2 B C^{2} = A B^{2} + C D^{2}$ B、 $3 B C^{2} = 2 A B^{2} + 2 C D^{2}$ C、 $4 B C^{2} = 3 A B^{2} + 3 C D^{2}$ D、 $5 B C^{2} = 4 A B^{2} + 4 C D^{2}$

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二、填空题

11. 如图， $A B$ 与 $C D$ 相交与点 $E ， A D // B C ， C E = 6 ， \frac{B E}{A E} = \frac{3}{4}$ ，则 $E D =$ .

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12. 某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖券，设特等奖1名，一等奖10名，二等奖20个，三等奖30个，已知每张奖券获奖可能性相同，则抽一张奖券获得特等奖或一等奖的概率是.

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13. 已知 $(- 3, y_{1}), (- 0.5, y_{2}), (2, y_{3})$ 是抛物线 $y = - 2 x^{2} - 4 x + m$ 上的点，则将 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 按从小到大排列为.

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14. 如图，已知等边 $△ A B C$ 以C为旋转中心，按逆时针方向旋转 $α^{°} (0 < α < 180^{°})$ ，得到 $△ D E C$ ，若 $C D ⊥ A B$ ，等边三角形边长为1，则点A的运动路径长为.

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15. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $A C = 4, B C = 3$ ，则 $\sin A =$ .

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16. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 1 ， A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点E在 $B A$ 的延长线上， $E D = E C ， D E$ 交 $A C$ 于点F，则图中与 $△ A F E$ 相似的三角形为； $A F$ 的长为.

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三、解答题

17. 已知半径为6的扇形面积为 $12 π$ ，求此扇形圆心角的角度.

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18. 已知有一个30度的角，两个45度的角，一个60度的角，

(1)、从中任取两个角，请用树状图或列表求出两个角恰好互余的概率；

(2)、已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°} ， B C = 2 ， ∠ A$ 是上面四个角中的一个，求边 $A B$ 的长.

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19. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90^{°}$ .你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由.

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20. 一位运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，

(1)、求铅球所经过路线的函数表达式；

(2)、求出铅球的落地点离运动员有多远.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $B C 、 A C$ 于点 $D 、 E$ ，连结 $E B$ 交 $O D$ 于点F.

(1)、求证： $O D ⊥ B E$

(2)、连结 $A D$ ，交 $B E$ 于点G，若 $△ A G E ≌ △ D G F$ ，且 $A B = 2$ ，求 $A E$ 的长.

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22. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ （其中 $b ， c$ 是常数）

(1)、已知函数过点 $(2, 3)$ ，求出b和c满足的关系式；

(2)、若 $c = 1 - b$ ，求证：不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；

(3)、四位同学在研究此函数时，甲发现当 $x = 0$ 时， $y = 5$ ；乙发现函数的最大值是9；丙发现函数图象的对称轴是 $x = 2$ ；丁发现 $x = 4$ 是方程 $- x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写岀错误的那个同学是谁，并根据另三位同学的表述求出此函数表达式.

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23. 如图1， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，以 $B C$ 为一边向下作矩形 $B D E C$ ，其中 $D B = 1$ .M为线段 $A B$ 上的动点（且不与 $A 、 B$ 重合），过M作矩形 $M N P Q$ ，使边 $N P$ 在线段 $D E$ 上.

(1)、当 $M N$ 为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，请直接写出矩形 $M N P Q$ 的面积；

(2)、设 $M N = x$ ，矩形 $M N P Q$ 的面积为y，
①试求出y关于x的函数表达式；

②矩形 $M N P Q$ 的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由.

(3)、如图2，过点N作 $A B$ 的平行线，交线段 $A C$ 于点F，连结 $M F$ ，若 $△ M N F$ 为直角三角形，请直接写出线段 $M N$ 的长度.

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