高中数学人教A版（2019）必修二第六章平面向量基本定理

试卷更新日期：2021-03-08 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知 $\overset{⇀}{A B} = (5, - 3)$ ， $C (- 1, 3)$ ， $\overset{⇀}{C D} = 2 \overset{⇀}{A B}$ ，则点 $D$ 的坐标是（）

A、 $(11, - 3)$ B、 $(9, - 3)$ C、 $(9, 3)$ D、 $(4, 0)$

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2. 已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 5 ， | \overset{⇀}{b} | = 4 ， | \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{a} | = \sqrt{61}$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ =$ （）

A、150° B、120° C、60° D、30°

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3. 若向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ， $\vec{c} = (- 1 ， 2)$ ，则用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{c}$ 为（）

A、 $\vec{c} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ B、 $\vec{c} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{c} = \frac{3}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{c} = - \frac{3}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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4. 已知 $A (3, - 1)$ ， $B (3, 2)$ ， $O$ 为坐标原点， $\vec{O P} = 2 \vec{O A} + λ \vec{O B} (λ \in R)$ .点 $P$ 在 $x$ 轴上，则 $λ$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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5. 在下列向量组中，可以把向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ 表示出来的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0 ， 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1 ， 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5 ， - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3 ， 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6 ， 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2 ， 3)$

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6. 如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$

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7. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = m | \vec{a} |$ ，若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则m的值为 $($ $)$

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 在平面内，已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (0, 1)$ ， $\overset{⇀}{c} = (1, 1)$ ，若非负实数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 1$ ，且 $\overset{⇀}{p} = x \overset{⇀}{a} + 2 y \overset{⇀}{b} + 3 z \overset{⇀}{c}$ ，则（）

A、 $| \overset{⇀}{p} |$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $| \overset{⇀}{p} |$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $| \overset{⇀}{p} |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $| \overset{⇀}{p} |$ 的最大值为 $3 \sqrt{3}$

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9. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值是 $($ $)$

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- 1$

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10. 已知 $\overset{⇀}{a} = (- 1 ， \sqrt{3}) ， | \overset{⇀}{b} | = 5$ ，且 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 10$ ，则向量 $\overset{⇀}{b}$ 在向量 $\overset{⇀}{a}$ 方向上的投影（）

A、2 B、5 C、4 D、10

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11. 如图：正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 中点，若 $\overset{⇀}{A D} = λ \overset{⇀}{A C} + μ \overset{⇀}{A E}$ ，则 $λ - μ$ 的值为（）

A、-3 B、1 C、2 D、3

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12. 在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $\frac{\overset{⇀}{A D}}{| \overset{⇀}{A D} |} • \frac{\overset{⇀}{A B}}{| \overset{⇀}{A B} |} = \frac{1}{2}$ ，动点 $E$ 和 $F$ 分布在线段 $C D$ 和 $B C$ 上，且 $\overset{⇀}{B A} • \overset{⇀}{B E}$ 的最大值为 $\frac{7}{2}$ ，则 $\overset{⇀}{A C} • \overset{⇀}{A F}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{7}{4} ， \frac{5}{2}]$ B、 $[\frac{3}{2} ， \frac{7}{2}]$ C、 $(- \frac{5}{4} ， 3]$ D、 $[\frac{5}{4} ， 4]$

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二、多选题

13. 在下列向量组中，不能把向量 $\vec{a} = (3, 2)$ 表示出来的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2, 3)$

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14. 设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（）

A、 $\vec{0} \cdot \vec{a} = \vec{0}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = {| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2}$

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三、填空题

15. 已知 $\overset{⇀}{a} = (2, 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1, 2)$ ，实数 $λ$ 满足 $| \overset{⇀}{a} - λ \overset{⇀}{b} | = \sqrt{5}$ ，则 $λ =$ .

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16. 若两个非零向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为．

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17. 已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 3)$ .若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ .

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18. 平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ， $\vec{b} = (x ， y) (x > 0)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ．若对任意实数t都有 $| t \vec{a} - \vec{b} | \geq 1$ ，则向量 $\vec{b} =$ .

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四、解答题

19. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ .

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20. 已知 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (\cos β, \sin β)$ ， $0 < β < α < π$ .
（Ⅰ）求证：向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直；

（Ⅱ）若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 的模相等，求 $β - α$ 的值（其中 $k$ 为非零实数）.

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21. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ .
（Ⅰ）若 $| \vec{c} | = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；
（Ⅱ）若 $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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22. 已知两个单位向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角为60°.

(1)、若 $\overset{⇀}{c} = λ \overset{⇀}{a} + (3 - \frac{λ^{2}}{2}) \overset{⇀}{b} (λ \in R)$ ，且 $\overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} = 0$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、求向量 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 在 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影.

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23. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， 1) ， \vec{c} = (3 ， - 1) ， t \in R$ .

(1)、求 $| \vec{a} + t \vec{b} |$ 的最小值及相应的 $t$ 值；

(2)、若 $\vec{a} - t \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求实数 $t$ .

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24. 已知 $\overset{⇀}{O A} = (- 1 ， 1) ， \overset{⇀}{O B} = (0 ， - 1) ， \overset{⇀}{O C} = (1 ， m) (m \in R)$ .

(1)、若 $A ， B ， C$ 三点共线，求实数 $m$ 的值；

(2)、证明：对任意实数 $m$ ，恒有 $\overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{C B} \geq 1$ 成立.

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高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量基本定理

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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