天津市东丽区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + 1$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = 1$ B、直线 $x = - 1$ C、直线 $x = 2$ D、直线 $x = - 2$

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3. 下列描述的事件为必然事件的是（）

A、汽车累积行驶10000km，从未出现故障 B、购买1张彩票，中奖 C、任意画一个三角形，其内角和是 $180 °$ D、明天一定会下雪

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4. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A、 $x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$ B、x²+2x+4=0 C、x²-x+2=0 D、x²-2x=0

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5. 已知 $⊙ O$ 的半径是6cm，则 $⊙ O$ 中最长的弦长是（）

A、6cm B、12cm C、16cm D、20cm

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $A B$ 的延长线上， $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ，若 $∠ C D A = 118 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $32 °$ B、 $33 °$ C、 $34 °$ D、 $44 °$

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7. 往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 $A B = 48 cm$ ，则水的最大深度为（）

A、10cm B、16cm C、18cm D、20cm

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8. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（）

A、 $y = {(x + 3)}^{2} + 5$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 5$ C、 $y = {(x + 5)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x - 5)}^{2} + 3$

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9. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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10. 半径为3的正六边形的周长为（）

A、18 B、 $18 \sqrt{3}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$

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11. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $5000 (1 + 2 x) = 7500$ B、 $5000 {(1 + x)}^{2} = 7500$ C、 $5000 \times 2 (1 + x) = 7500$ D、 $5000 + 5000 (1 + x) + 5000 {(1 + x)}^{2} = 7500$

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交过点 $A$ 且平行于 $x$ 轴的直线于另一点 $B$ ，交 $x$ 轴于 $C$ ， $D$ 两点（点 $C$ 在点 $D$ 右边），对称轴为直线 $x = \frac{5}{2}$ ，连接 $A C$ ， $A D$ ， $B C$ ．若点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点恰好落在线段 $O C$ 上，下列结论中错误的是（）

A、点 $B$ 坐标为 $(5 ， 4)$ B、 $A B = A D$ C、 $a = - \frac{1}{6}$ D、 $O C \cdot O D = 16$

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二、填空题

13. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的两根分别为．

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14. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部反面向上的概率是．

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15. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ .若以 $A C$ 所在直线为轴，把 $Δ A B C$ 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于.

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16. 若抛物线 $y = 3 x^{2} - 4 x - k$ 与 $x$ 轴没有交点，则 $k$ 的取值范围为．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 108 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．若点 $B^{'}$ 恰好落在 $B C$ 边上，且 $A B^{'} = C B^{'}$ ，则 $∠ C^{'}$ 的度数为．

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18. 如图所示的扇形 $A O B$ 中， $O A = O B = 2 ， ∠ A O B = 90 °$ ，C为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $∠ A O C = 30 °$ ，连接 $B C$ ，过C作 $O A$ 的垂线交 $A O$ 于点D，则图中阴影部分的面积为.

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19. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字4、5、6，随机摸取1个小球然后放回，再随机摸取一个小球

(1)、用画树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果；

(2)、求两次抽出数字之和为奇数的概率．

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三、解答题

20. 解方程：
$10 x^{2} - 5 x - \frac{1}{6} = x^{2} - 5 x + \frac{5}{6}$

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21. 如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $D C$ 上一点，把 $△ A D E$ 顺时针旋转 $△ A B F$ 的位置．

(1)、旋转中心是点，旋转角度是度：

(2)、若连结 $E F$ ，则 $△ A E F$ 是三角形，并证明你的结论．

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22. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是半圆 $O$ 上不同于 $A$ ， $B$ 的两点， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $F$ ， $B E$ 是半圆 $O$ 所在圆的切线，与 $A C$ 的延长线相交于点 $E$ ．

(1)、若 $A D = B C$ ，证： $△ C B A ≌ △ D A B$ ；

(2)、若 $B E = B F$ ， $∠ D A C = 32 °$ ，求： $∠ E A B$ 的度数．

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23. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品每天销售量 $y$ （千克）与销售单价 $x$ （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价 $x$ （元/千克）

55

60

65

70

销售量 $y$ （千克）

70

60

50

40

(1)、求 $y$ （千克）与 $x$ （元/千克）之间的函数表达式；

(2)、当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

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24. 已知，点 $O$ 是等边 $△ A B C$ 内的任一点，连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ．

(1)、如图1所示，已知 $∠ A O B = 150 °$ ， $∠ B O C = 120 °$ ，将 $△ B O C$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $60 °$ 得 $△ A D C$ ．
①求 $∠ D A O$ 的度数：

②用等式表示线段 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、设 $∠ A O B = α$ ， $∠ B O C = β$ ．
①当 $α$ ， $β$ 满足什么关系时， $O A + O B + O C$ 有最小值？并说明理由；

②若等边 $△ A B C$ 的边长为1，请你直接写出 $O A + O B + O C$ 的最小值．

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25. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点 $A ， B$ ，且 $O A = O B ，$ 点G为抛物线的顶点.

(1)、求抛物线的解析式及点G的坐标；

(2)、点 $M ， N$ 为抛物线上两点(点M在点N的左侧) ，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点 $M ， N$ 之间(含点 $M ， N$ )的一个动点，求点Q的纵坐标 $y_{Q}$ 的取值范围.

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销售单价 $x$ （元/千克）	55	60	65	70
销售量 $y$ （千克）	70	60	50	40