高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

试卷更新日期：2021-03-08 类型：同步测试

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一、单选题

1. 对于空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，有如下关系： $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则（）

A、 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点必共面 B、 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点必共面 C、 $O$ ， $P$ ， $B$ ， $C$ 四点必共面 D、 $O$ ， $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 五点必共面

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2. 在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，向量 $\overset{⇀}{D_{1} A}$ ， $\overset{⇀}{D_{1} C}$ ， $\overset{⇀}{A_{1} C_{1}}$ 是（）

A、有相同起点的向量 B、等长向量 C、共面向量 D、不共面向量

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3. 若 $A (- 1, 0, 1), B (1, 4, 7)$ 在直线l上，则直线 $l$ 的一个方向向量为（）

A、 $(1, 2, 3)$ B、 $(1, 3, 2)$ C、 $(2, 1, 3)$ D、 $(3, 2, 1)$

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4. 以下四组向量：① $\vec{a} = (1, - 2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 1)$ ；② $\vec{a} = (8, 4, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 0)$ ；③ $\vec{a} = (1, 0, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 0, 3)$ ；④ $\vec{a} = (- \frac{4}{3}, 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (4, - 3, 3)$ .其中 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 分别为直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方向向量，则它们互相平行的是（）

A、②③ B、①④ C、①②④ D、①②③④

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5. 若直线l的一个方向向量 $\vec{a} = (2 ， 2 ， - 2)$ ，平面α的一个法向量为 $\vec{b} = (1 ， 1 ， - 1)$ ，则（）

A、 $l ∥ α$ B、 $l ⊥ α$ C、 $l \subset α$ D、A、C都有可能

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6. 如果直线l的方向向量是 $\overset{⇀}{a} = (- 2, 0, 1)$ ，且直线l上有一点P不在平面 $α$ 内，平面 $α$ 的法向量是 $\overset{⇀}{b} = (2, 0, 4)$ ，那么（）.

A、直线l与平面 $α$ 垂直 B、直线l与平面 $α$ 平行 C、直线l在平面 $α$ 内 D、直线l与平面 $α$ 相交但不垂直

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7. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{b}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，则可能使 $l / / α$ 的是 $($ $)$

A、 $\vec{b} = (1$ ，0， $0)$ ， $\vec{n} = (- 2$ ，0， $0)$ B、 $\vec{b} = (1$ ，3， $5)$ ， $\vec{n} = (1$ ，0， $1)$ C、 $\vec{b} = (0$ ，2， $1)$ ， $\vec{n} = (- 1$ ，0， $- 1)$ D、 $\vec{b} = (1$ ， $- 1$ ， $3)$ ， $\vec{n} = (0$ ，3， $1)$

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8. 若平面 $α$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{n_{1}} = (1 ， 0 ， 1)$ ，平面 $β$ 的一个法向量是 $\overset{⇀}{n_{2}} = (- 3 ， 1 ， 3)$ ，则平面 $α$ 与 $β$ 所成的角等于（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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9. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是底面正方形 $A B C D$ 的中心， $M$ 是 $D_{1} D$ 的中点， $N$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则直线 $N O$ ， $A M$ 的位置关系是（）

A、平行 B、相交 C、异面垂直 D、异面不垂直

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10. 已知平面α的法向量为 $\overset{⇀}{a}$ ＝(1，2，－2)，平面β的法向量为 $\overset{⇀}{b}$ ＝(－2，－4，k)．若α⊥β，则k＝( )

A、4 B、－4 C、5 D、－5

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二、多选题

11. 下列命题中是假命题的为（）

A、若向量 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，则 $\vec{p}$ 与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面 B、若 $\vec{p}$ 与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面，则 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b}$ C、若 $\vec{M P} = x \vec{M A} + y \vec{M B}$ ，则 $P$ ， $M$ ， $A$ ， $B$ 四点共面 D、若 $P$ ， $M$ ， $A$ ， $B$ 四点共面，则 $\vec{M P} = x \vec{M A} + y \vec{M B}$

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三、填空题

12. 若 $A (0 ， 2 ， \frac{19}{8})$ ， $B (1 ， - 1 ， \frac{5}{8})$ ， $C (- 2 ， 1 ， \frac{5}{8})$ 是平面内的三点，设平面的法向量 $\vec{a} = (x ， y ， z)$ ，则 $x ： y ： z =$ ．

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13. 已知点 $P$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点，如果 $\overset{⇀}{A B} = (2, - 1, - 4), \overset{⇀}{A D} = (4, 2, 0),$ $\overset{⇀}{A P} = (- 1, 2, - 1)$ ，对于结论：① $A P ⊥ A B$ ；② $A P ⊥ A D$ ；③ $\overset{⇀}{A P}$ 是平面 $A B C D$ 的法向量；④ $\overset{⇀}{A P} / / \overset{⇀}{B D}$ .其中正确的说法的序号是．

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14. 已知 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{c} = (1, 0, 1)$ 分别是平面 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 的一个法向量，则 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 三个平面中两两垂直的有对.

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15. 已知 $△ A B C$ 在平面 $α$ 内， $∠ A = 90^{°}$ ， $D A ⊥$ 平面 $α$ ，则直线 $C A$ 与 $D B$ 的位置关系是.

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16. 若平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{u_{1}} = (- 3 ， y ， 2)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{u_{2}} = (6 ， - 2 ， z)$ ，且 $α / / β$ ，则 $y + z =$ ．

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四、解答题

17. 如图，已知正方形 $A B C D$ 和矩形 $A C E F$ 所在的平面互相垂直， $A B = \sqrt{2}$ ， $A F = 1$ ， $M$ 是线段 $E F$ 的中点.求证： $A M ⊥$ 平面 $B D F$ .

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ， $A A_{1} = 4$ .

(1)、求证： $A C ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、在线段 $A B$ 上是否存在点 $D$ ，使得 $A C_{1} ⊥ C D$ ？

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19. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且 $\frac{PH}{HC} = \frac{1}{2} ，$ 点G在AH上，且 $\frac{AG}{AH}$ =m，若G，B，P，D四点共面，求m的值.

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