山西省吕梁市孝义市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、有害垃圾 B、可回收物 C、厨余垃圾 D、其他垃圾

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2. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} = 2 x$ 的根的情况，下列说法正确的是（）

A、有一个实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、没有实数根

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3. 如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 到支点 $O$ 的距离满足 $\frac{A O}{O C} = \frac{O B}{O D} = 2$ ，且 $O A = O B$ ．现在只要测得卡钳外端 $C$ ， $D$ 两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径 $d$ 的大小。这种测量原理用到了（）

A、图形的旋转 B、图形的平移 C、图形的轴对称 D、图形的相似

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4. 历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所示：

实验者	抛掷次数 $n$	“正面向上”的次数 $m$	“正面向上”的频率 $\frac{m}{n}$
棣莫弗	2048	1061	0.5181
布丰	4040	2048	0.5069
费勒	10000	4979	0.4979
皮尔逊	12000	6019	0.5016
皮尔逊	24000	12012	0.5005

则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（）

A、随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小 B、随着抛掷次数的增加，频率等于0.5 C、每多抛一次，频率会更加接近0.5 D、无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等

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5. 如果反比例函数 $y = \frac{4 - k}{x}$ 的图象在第一、三象限内，则下列说法正确的是（）

A、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小 B、 $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、 $k$ 的取值范围为 $k > 4$ D、 $k$ 的取值范围是 $k < 4$

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6. 将抛物线 $y = 2 x^{2} - 2$ 的向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到抛物线的解析式是（）

A、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 1$ B、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 5$ C、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 5$ D、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 1$

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7. 如图， $△ D E F$ 和 $△ A B C$ 是位似图形，点 $O$ 是位似中心，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 的中点．若 $△ D E F$ 的面积为 $S$ ，周长为 $l$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的面积为 $2 S$ B、 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2} S$ C、 $△ A B C$ 的周长为 $2 l$ D、 $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{2} l$

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8. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + x$ ，下列说法正确的是（）

A、该函数的最小值为2 B、该函数的最小值为1 C、该函数的最大值为2 D、该函数的最大值为1

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9. 近似眼镜的度数 $y$ （度）与镜片焦距 $x$ （米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距 $x$ 的取值范围是（）

A、0米 $< x < 0.25$ 米 B、 $x > 0.25$ 米 C、0米 $< x < 0.2$ 米 D、 $x > 0.2$ 米

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10. 如图， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径，半径 $O C ⊥ A B$ ．以 $O C$ 为直径的 $⊙ D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，若 $A B = 4$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $2 π - 2$ B、 $4 π - 2$ C、 $4 π - 4$ D、 $π - 2$

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二、填空题

11. 如图，已知 $A B // C D // E F$ ， $\frac{A D}{D F} = \frac{3}{2}$ ， $B E = 15$ ，那么 $C E$ 的长为．

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12. 数学课上，老师提出如下问题：“如图，用一段长为 $30 m$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？”小慧设菜园的面积为 $S m^{2}$ ，菜园的…为xm，列出 $S = x (15 - \frac{x}{2})$ ．则自变量x的实际意义是．

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13. 如图， $▱ A B C D$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，顶点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上，顶点 $C$ 和 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象上，且对角线 $A C // x$ 轴，则 $▱ A B C D$ 的面积等于．

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14. 已知函数 $y = - {(x - 1)}^{2}$ 图像上两点 $A (2 ， y_{1}) B (a, y_{2})$ ，其中 $a > 2$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填大于小于或等于）．

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15. 如图所示，复印纸的型号有A₀ ， A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A₃）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A₄）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为．

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三、解答题

16.

(1)、解方程： $x (x - 4) - 5 = 0$

(2)、解方程： ${(x + 5)}^{2} + x^{2} - 25 = 0$

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17. 如图，一次函数 $y = - 2 x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x < 0$ ）交于点 $C$ ，且 $A B = 2 B C$ ．

(1)、求出点 $C$ 的坐标及反比例函数的关系表达式；

(2)、请直接写出不等式 $- 2 x + 4 - \frac{k}{x} > 0$ 的解集．

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18. 如图是一个能自由转动的正五边形转盘，这个转盘被五条分割线分成形状相同，面积相等的五部分，且每个部分分别标有1、2、3、4、5五个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动，当转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域）．

(1)、若转动该转盘一次，则指针指向的数字为偶数的概率为；

(2)、若连续转动转盘两次，请用“列表法”或“画树状图法”，求出两次指针指向的数字和为偶数的概率．

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19. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以点 $C$ 为圆心， $C B$ 为半径的圆与 $A B$ 交于点 $D$ ，直线 $D E$ 与 $⊙ C$ 相切，并且交 $A C$ 于点 $E$ ，与 $C B$ 的延长线交于点 $F$ ．

(1)、求证： $D E = A E$ ；

(2)、若 $C E = 3$ ， $C F = 4$ ，求 $A E$ 的长．

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20. 阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
图形旋转的应用．图形的旋转是全等变换（平移、轴对称、旋转）中重要的变换之一，利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的．

如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，且 $A C = 4$ ， $B C = 3$ ．过点 $E$ 作互相垂直的两条直线，即 $E F ⊥ E D$ ， $E F$ 交 $A C$ 于点 $F$ ， $E D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，求四边形 $E F C D$ 的面积．

分析：将 $∠ F E D$ 以点 $E$ 为旋转中心顺时针旋转，使得旋转后 $E F$ 的对应线段所在直线垂直于 $A C$ ，并且交 $A C$ 于点 $M$ ，旋转后 $E D$ 的对应线段所在直线交 $B C$ 于点 $N$ ．则容易证明四边形 $M E N C$ 为正方形．因为 $∠ E M F = ∠ E N D = 90 °$ ， $M E = N E$ ， $∠ M E F = ∠ N E D$ ，所以 $△ M E F ≌ △ N E D$ ，

所以 $S_{四边形 E F C D} = S_{正方形 M E N C}$ ．

学习任务：

(1)、四边形 $E F C D$ 的面积等于；

(2)、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ：
①作出 $△ A B C$ 的外接圆 $O$ ；

②作 $∠ A C B$ 的平分线，与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ．

要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹

(3)、在（2）的基础上，若 $B C + A C = 14$ ，则四边形 $A C B D$ 的面积等于．

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21. 2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高。10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤．

(1)、求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；

(2)、进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤，为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤，求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？

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22. 综合与实践
已知四边形 $A C B D$ 与 $A E F G$ 均为正方形．

(1)、数学思考：
如图1，当点 $E$ 在 $A B$ 边上，点 $G$ 在 $A D$ 边上时，线段 $B E$ 与 $D G$ 的数量关系是，位置关系是．

(2)、在图1的基础上，将正方形 $A E F G$ 以点 $A$ 为旋转中心，逆时针旋转角度 $α$ ，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
拓展探索：

(3)、如图3，若点 $D$ ， $E$ ， $G$ 在同一直线上，且 $A B = 2 A E = 2 \sqrt{2}$ ，则线段 $B E$ 长为．（直接写出答案即可，不要求写过程）．

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23. 综合与探究
如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $D (3 ， 4)$ 两点，直线 $A D$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ．点 $P (m ， n)$ 是直线 $A D$ 上方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $P F ⊥ x$ 轴，垂足为 $F$ ，并且交直线 $A D$ 于点 $E$ ．

(1)、请直接写出抛物线与直线 $A D$ 的函数关系表达式；

(2)、当 $C P // A D$ 时，求出点 $P$ 的坐标；

(3)、是否存在点 $P$ ， $∠ C P E = ∠ Q F E$ ？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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