山西省晋城市高平市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 式子 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x \leq 1$ C、 $x \geq - 1$ D、 $x \geq 1$

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2. 如果△ABC中，sinA=cosB= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列最确切的结论是（　　）

A、△ABC是直角三角形 B、△ABC是等腰三角形 C、△ABC是等腰直角三角形 D、△ABC是锐角三角形

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3. 一元二次方程 $x (x - 1) = x - 1$ 的根是（）

A、1 B、-1 C、1和0 D、-1和0

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4. 将抛物线 $y = x^{2} + 2$ 向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）

A、 $y = {(x - 3)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x + 3)}^{2} + 2$ C、 $y = x^{2} - 1$ D、 $y = x^{2} + 5$

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5. 如图，已知 $A D / / B E / / C F$ ， $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $E F = 4$ ，则DE的长为（）

A、2 B、4 C、3 D、 $\frac{10}{3}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A₁B₁C₁是以点P为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P的坐标为（）

A、（﹣4，﹣3） B、（﹣3，﹣4） C、（﹣3，﹣3） D、（﹣4，﹣4）

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7. 两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3.从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）

A、两个小球的标号之和等于1 B、两个小球的标号之和等于6 C、两个小球的标号之和大于1 D、两个小球的标号之和大于6

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8. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$

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9. 关于x的方程 $(x - 2) (x + 3) = a^{2}$ （a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A、两个正根 B、两个负根 C、一个正根一个负根 D、无实数根

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10. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax²的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{9} \leq a \leq 3$ B、 $\frac{1}{9} \leq a \leq 1$ C、 $\frac{1}{3} \leq a \leq 3$ D、 $\frac{1}{3} \leq a \leq 1$

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二、填空题

11. $(2 \sqrt{2} + 1) (2 \sqrt{2} - 1) =$ ．

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12. 在 $△ A B C$ 中，D、E分别是AB、AC的中点，若 $△ A D E$ 面积为 $\frac{1}{4}$ ，则四边形DBCE的面积为．

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13. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为.

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14. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为 $(- 4 ， 0)$ ，对称轴为 $x = - 1$ ，则 $y > 0$ 时，x的取值范围．

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15. 如图，在矩形ABCD中，BD是对角线， $A E ⊥ B D$ ，垂足为E，连CE，若 $∠ A D B = 30 °$ ，则 $\tan ∠ D E C =$ ．

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三、解答题

16.

(1)、计算： ${(- 2)}^{2} \cdot \sin 60 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 1} \times \sqrt{12}$ ；

(2)、用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 24 = 0$ ．

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17. 关于x的方程 $x^{2} - 2 x + 2 m - 1 = 0$ 有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

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18. 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 $\frac{A B}{A C}$ ＝ $\frac{B D}{C D}$ ．下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…

任务：

(1)、请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．

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19. 小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次.

(1)、小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

(2)、若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.

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20. 云冈石窟位于大同市，位于第五窟的三世佛中央坐像是云冈石窟最大的佛像，某数学课题研究小组针对“三世佛中央坐像的高度有多少米”这一问题展开探究，过程如下：

问题提出：如图①是三世佛的中央坐像，请你设计方案并求出它的高度．

方案设计：如图②，该课题研究小组通过研究设计出以下方案，某同学在D处用测角器测得佛像最高处A的仰角 $∠ A D C = 40 °$ ，另一个同学在他的后方2.14m的E处测得佛像底端B的仰角 $∠ B E C = 10 °$ ．

数据收集：通过查阅资料和实际测量：佛像底端到观景台的垂直距离BC为5m．

问题解决：

(1)、根据上述方案及数据，求佛像AB的高度；（结果保留整数，参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ）

(2)、如果你是课题小组的成员，你还有其它的测量方案吗？请说出你的测量方案和需要测量的数据？

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21. 在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 $y$ （单位：件）与线下售价 $x$ （单位：元/件， $12 \leq x < 24$ ）满足一次函数的关系，部分数据如下表：

x(元/件）

12

13

14

15

16

y(件）

1200

1100

1000

900

800

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当 $x$ 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．

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22. 问题情景：在数学活动课上，同学们对等腰三角形进行探究．在 $△ A C B$ 中， $C A = C B$ ，在 $△ A E D$ 中， $E A = E D$ ，已知 $∠ A C B = ∠ A E D$ ，直线BD，CE交于点F．

(1)、观察猜想：如图①，当 $∠ ACB = ∠ AED = 60 °$ 线段BD与CE之间的数量关系是， $∠ C F B$ 的度数是．

(2)、合作交流：小华受上述问题启发，在图②的基础上（ $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ），探究线段BD与CE之间的数量关系和 $∠ C F B$ 的度数，请你帮小华完成任务．

(3)、类比探究：在小华探究的基础上，同学们又提出了新的问题，如图③，当 $∠ A C B = ∠ A E D = α$ 时， $\frac{C A}{A B} = \frac{E A}{A D} = k$ 时，线段DB与CE之间的数量关系是， $∠ C F B$ 的度数是．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 8 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (8 ， 0)$ ，与y轴交于点C，顶点为D，连接 $A C ， B C ， B C$ 与抛物线的对称轴l交于点E．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点P是第一象限内抛物线上的动点，连接 $P B ， P C$ ，当 $S_{△ P B C} = \frac{3}{5} S_{△ A B C}$ 时，求点P的坐标；

(3)、点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线 $E D$ 上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与 $△ O B C$ 相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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x(元/件）	12	13	14	15	16
y(件）	1200	1100	1000	900	800